2016版高考数学大二轮总复习专题八系列4选讲第2讲

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1、瞄准离考的属于特征值一2的一个特征第2讲矩阵与变换高考真题体验考情考向分析本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点分类突破*析离考热点一常见矩阵变换的应用1.矩阵乘法的定义:[“11厶11+“12厶21]，般地，我们规定行矩阵［^，川2］与列矩陈

2、的乘法规则为［^，6ZI2］二阶矩阵•ab—•cd的乘法姗4:測ax~~bycx+cly.说明：矩阵乘法MTV的几何意义为对句

3、贷的连续实施的两次几何变挽（先TNfTi〜）的复合变换.一般地，对于T•面上的任意一个点（向量）（x，若按照对应法则r，总能对应唯一的一个T面点（向量）（x'，/），则称7为一个变换，简记为r:（X,），）一（X'，/）或7:-y-X-y'2.几种常见的平而变换（1）恒等变换；（2）仲缩变换；⑶反射变换；（4）旋转变挽；（5）投影变换；（6）切变变换.例1已知曲线C:xy=.（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C'的方程；（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.思维升华把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，

4、可以加深对曲线性质的理解.跟踪演练1已知直线/:似+尸讓阵叫0对应的变换作川下变为直线:x+by(1)求实数6/，(2)若点尸(.¥()，b的值;外)在直线/上，Ii/<求点P的^标.热点二二阶矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有欠概念对于二阶矩阵儿B，^AB=BA=E,则称是口逆的，忍称为3的逆矩阵.苦二阶矩阵/I存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记/!的逆矩阵为/T1,A[=B.(2)逆矩阵的求法a-般地，对于二阶町逆矩阵4=(ad—be其0)，d_dad—he它的逆姐阵为3_1=—cad—be-bad—beaad—be.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵儿忍

5、均存在逆矩阵，则也存在逆矩阵，厂1=必"、_1.②已知/I，B,C为二阶矩阵，^.AB=AC,若矩阵/I存在逆矩阵，则B=（4）逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程飢ax+by=mcx+dy=n看成是经过系数矩阵/（=（“d-be判），若将看成是原先的向a,而将忍b~]（fld—&其0）对应变换作川P将到的向量，则N记为矩uj—bad~beaad—beda阵方程ad—be则忍，其屮/T1:—cad—be例2Oi阵J（其中6/〉0,b>0）.（1）若6/=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵似_1;2⑵若ilh线C:x2+/=l在矩阵A/所对应的线性变换作川下得到曲线c':f+

6、/=l，求AA的值.思维升华对于二阶矩阵，若有=及/1=£，则称B为A的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.跟踪演练2-10■12—，B=_02_-06-已知矩阵4=求矩阵/T1及热点三求矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的特征值和特征句景(1)特征值与特征向M的概念没j是一个二阶矩阵，如果对于实数A,存在一个非零向量《，使得那么A称为3的一个特征值，而《称为/I的一个属于特征值2的一个特征向呈.(2)特征M景的几何意义特征句量的方向经过变换矩阵」的作川后，保持在同一条直线上，这吋特征向景或者方向不变(A〉0)，或者方向相反(A<0)，特别地，当A=0吋

7、，特征向M就被变成了零向⑶特征多项式「“「x]「x]「x]「x]设A是二阶矩阵/!=、的一个特征值，它的一个特征向鲎为《=，则4，即LcajLjdLjdLyJLyjax+by=AX,cx+dy^~Xyjr满足二元一次方程组(A—a)x—by=O,r.-cx+(A-d)y=O.(t)由特征叫暈的定义知-■个二阶矩阵，城，我们把行咖=X~a—bX-d称为/!的特征多项式.(4)求矩阵的特征值与特征向景如果A是二

8、阶矩阵的特征值，则A—定是二阶矩阵/!的特征多项式的一个根，它满足./U)=0.此吋，将乂代入二元-•次方程组(*)，就可以得到一组非零解[=],于足，非零向景即为/!的属于2的一个特征向景.例3已知矩阵3=■aL其中aGR，若点P(l，l)在矩阵/!的变换下得到点P(0,—3).(1)求实数6Z的值；(1)求矩阵/!的特征值及特征向思维升华(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A/的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(2〉0),或者方向相反(A<0).特别地，当A=