ch8 矩阵特征值问题计算

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1、Ch8矩阵特征值问题计算引言计算矩阵的主特征根及对应的特征向量Waitasecond,whatdoesthatdominanteigenvaluemean?Thatistheeigenvaluewiththelargestmagnitude.WhyintheearthdoIwanttoknowthat?Don’tyouhavetocomputethespectralradiusfromtimetotime?原始幂法条件：A有特征根

2、1

3、>

4、2

5、…

6、n

7、0，对应n个线性无关的特征向量思路：从任意出发………

8、i/1

9、<1当k充分大时，有这是A关于1的近似

10、特征向量§1乘幂法和反幂法§1.1乘幂法乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量.A的n个特征值为

11、12n对应的特征向量为x1,x2,…xn线性无关.我们要求1和x1.乘幂法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…产生迭代序列v(k).由于x1,x2,…xn线性无关,从而有v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn故有v(1)=Av(0)v(2)=Av(1)v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+

12、…+annkxn(8.1)……………………………………………=a11x1+a22x2+…+annxn=a112x1+a222x2+…+ann2xn1.设

13、1>2n,这时,(8.1)式可写成若a10,则对充分大的k有因而有或取而特征向量x1v(k).乘幂法的收敛速度取决于

14、2/1

15、的大小.求矩阵A的按模最大的特征值解取v(0)=(1,0)T,计算v(k)=Av(k-1),结果如下例2kv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166

16、530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.对非零向量v,用max(v)表示v的按绝对值最大的分量,称向量u=v/max(v)为向量v的规范化向量.例如,设向量v=(2,1,-5,-1)T,则max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量u总满足‖u‖=1.乘幂法的规范化计算公式为:任取初始向量u(0)=v(0)0,计算由于所以又由其收敛速度由比值

17、2/1

18、来确定,其值越小收敛越快

19、.所以因此,当

20、k-k-1

21、<时,可取:1k,x1u(k).如用规范化乘幂法解例2,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,则有故可取10.412627,x1(1,0.813138)T.k01234k0.250.410.4126020.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.813138用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.例3设解取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,计算得kku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T

22、(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取16.000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=2.2.设1=2==r,且

23、1>r+1n,这时,(8.1)式可写成若a1,a2,…,ar不全为零,则对充分大的k有由于a1x1+a2x2+…+arxr是

24、对应1的特征向量,若仍记为x1,则有:v(k)1kx1,故前面的结论仍然成立.3.设1=-2,且

25、1=

26、2

27、>3n,这时,(8.1)式可写成则对充分大的k有v(2i)12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)12i+1(a1x1-a2x2)于是有x1v(k+1)+1v(k),x2v(k+1)-1v(k)对于规范化的幂法，由于u(k+2)=v(k+2)/k+2=Au(k+1)/k+2=Av(k+1)/k+1k+2=A2u(k)/k+1k+2于是有x1k+1u(k+1)+1