平面向量和向量方法的应用[竞赛辅导材料]

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1、WORD格式整理版平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在中，角所对的边分别为．三角形“四心”的向量的统一形式：是的心．引理：若是内的一点，则．证明：这里只证明（均为正数）．作，，，则．容易证明点为的重心．于是，所以，同理，，所以．取，则，，．练习：1．是的________心．2．是的________心．3．是的________心．是的________心．4．在内部，则是的________心．是的________心．是的________心．当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．5

2、．所在直线一定通过的________心．6．所在直线一定通过的________心．7．所在直线一定通过的________心．8．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的________心．（答案：1．重心．2．内心．3．外心．4．垂心（提示：为的垂心．因为在内部，所以，所以，同理，．又，所以学习指导参考WORD格式整理版）．5．内心．6．重心．7．垂心．提示：设））8．重心．提示：，所以，设，则，即．因为经过的中点，三点共线，所以的轨迹一定经过的重心．）二、三角形形状的判定1．为所在平面内一点，且满足，则三角形形

3、状为_______三角形．1．解：由条件，得，即，所以，即．所以是等腰三角形．2．已知非零向量和满足条件，且，则是___________三角形．2．解：设，则为的角平分线；又由得到，所以．由得到，所以为等边三角形．3．在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为__________．3．解：因为是边的中点，所以，所以．因为与不共线，所以且，所以，即为等边三角形．三、向量分解问题1．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则__________，__________．1．解：不妨设，则，．由于，所以过点作的垂线，与的延长线交于点，则．∵，，

4、∴，．学习指导参考WORD格式整理版２．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是________．解法１：设，由可得，，即∴．∴的最大值是．解法２：以点为坐标原点，为轴，建立平面直角坐标系，则，．设（），由可得，，∴，，∴，，∴，∴的最大值是．解法３：设，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，由及可知，，．又，在中，由正弦定理得，∴，，∴，∴的最大值是．3．为内一点，，，，，，设，则__________．3．过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，则，，所以

5、，，，，所以，所以，，所以．四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1．已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．1．解：依题意，所以，解得且，所以，所以学习指导参考WORD格式整理版，因为，所以．2．在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值等于________．2．解：因为，所以，即．因为，，，所以，即．设与的夹角，则有，即，所以．3．已知的面积为，且，若，则向量与的夹角的范围是____________．3．解：．因为，所以，所以，所以向量与的夹角的范围是．4．中，的对边分别为，重心为，若，则__________．4．因为为的重心，

6、所以，所以，因为与不共线，所以．设的中点为，则，所以，所以．学习指导参考WORD格式整理版平面向量与向量方法的应用（二）（教师版）一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1．如图，在中，已知，，过点作直线交、于、两点，则_______．1．解：构造基底，，则，，，，．设，，因为点、、三点共线，所以（），于是．又、不共线，所以且，消去，得，即，所以．2中，为的中点，为边上靠近点的一个三等分点，与交于点，求：①与的长度之比；②与的长度之比．2．解：设，，因为为的中点，所以．因为三点共线，所以存在唯一实数使得，①．因为三点共线，所以存在唯一实数使得，即，

7、解得，②．因为与不共线，所以比较①②得，解得，，所以，，所以，．二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）问题1．平面内的向量，，点是抛物线（）上任意一点，则的取值范围是_______．1．解：由题意，可设点（），则，，所以，因为，所以，所以．点评：将表示为关于的函数式，针对该函数式及来求函数的值域．多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令，则学习指导参考WORD格式整理版（）．注意从函数角度来确定，不要得出错误结论．2．已知、是两个互相垂直的单位向量，且，，，则对于任意实数、，的最小值是_______．2．解：依题意，，且，于是－，所以，当且

8、仅当、时上式取得等号，故所求的最小值为，选Ｃ．3在长方形中，，，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_________．