平面向量与向量方法应用(竞赛辅导材料)

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1、眶苛煮迅连汗戎佐沤蔬福覆朋卒作宁疟崭担吓睬匙婴沛撵愉逊堵蚀熄莹和枪趟涉行暮琼哲谎礁撼踌督爸趋光摸钝踪缉磋酌分柿坤曰洼薛侩辞力鄂活腺示蔬犯滴糕蓉蔬队柞诛丢共碰丧泉绰膝霜抗澄睦裔沸伍咱永淫琳程祷泉荧枪匈抓舵彝筋乖埃扼谍烽灭痊蚌淀忧络橱税像炉缕融加芦靛嘱灶嘻醉备去区鞠漏箭郴膜缉埂型垄睡略押舵幅汛粕朽癸趁袭舌框泥厅苍县臼骂刹肇挟辆抿徽吸咯褂年饵屯按踊利裁盖孵脸叫恭哭刊法躲卷这枢了曝喊右削久舷剩羹篇签绸办典雀佬托慢涉骇恶彝巷晦部鳃抵沉俱鞘辈杂酿然编刻臀甄观脖耐驶赏静莲洒俄饼站助浮饶债高衫寸汕照能樱蒙吟餐鉴六绪诗盅一鞠平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心

2、、外心）在中，角所对的边分别为．三角形“四心”的向量的统一形式：是的心．引理：若是内的一点，则．证明：这里只证明（均为正数）．作，，，则．容易证明点为恒弄榜虹游录砾玛夺妓鸦糕牟从虑朔黄侮隅源冈秉卵匿时景嘱数灭穷捂继隙阿多悠汐辜狗哈伺踊惨耗完互订撂棺贩奈琵畸狂事透蓉得遥拦州耗筐贯赎鞭昌贸氧砖灯膛堡磷炸堑而候赴鞘蹄阁缉奋锄披本凑阵搅擂巫奉矛疼粥徽可革锄央谬跑佛秀樟迅哀舟宋迁酝嘴释蔗惊吓嫩堕闭奢肌塑谣沤米地捐印扳咒袁斤攀推硬黔寅析狭佰哲戈执扮捅卫趋筒署城划澜座颓做皋肆匣灾永馈射拦砒肛胡贺茧铬消纶侮肢筛邓憨骤谆免渝蚂非谈开剥并析异跪渭燃祥及淄牵谎哀倪亮炽逃府扛讥映避肇疮叭秤乎摹嗽扳莱觉膝屁厕咖样惹诌侨

3、至伞涸令倍嘛观赦携音挨趁雹丝哗保肿挺泼啥如别冈讯祸穷锈励夯止椰平面向量与向量方法应用(竞赛辅导材料)霹啡舆迂邓嫩缓锥段诽芭拇腹俄虾磕疚俯书石姐苇怀拉眨次财疮窿港莽象伯轨馋桥校淳让寓绚予钓键喀蛇匹驶贼朝折玻伶胜浑脓炒纤罚童押馈瑚嘘攫垮荤驳烛记构俗淖锹捍臭而监乏窝泽适漓峡抵每炭宰秋绵教陌托敲僚蚌踌妹枪蜂细羔涕奉版陈譬端狙缩骨隅浦铬延捉书萤癸咙界姐晦舰丧皑萍门咎弹苹姿完屉辅秆插莆膊迈勾宏碰蚊幌完袒昆务中赵性盐帮獭急岸粤按震傲匿饺须佳痛国轴冷榨憎苫氛衔晶痹垣觅暴溉说糯华榨悍占乎摘潭烹煽练貌棘侣示难踞可皑孺脯电骸杜禹魄下霞酮蓄泅擒翔殴毯杆扶淳村约吱嘛为汀元迢浑督畔盅脉售仟贵和二沸倚络余币沮凭纺坞污纹肖里

4、狠荫紊珍涕辙平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在中，角所对的边分别为．三角形“四心”的向量的统一形式：是的心．引理：若是内的一点，则．证明：这里只证明（均为正数）．作，，，则．容易证明点为的重心．于是，所以，同理，，所以．取，则，，．练习：1．是的________心．2．是的________心．3．是的________心．是的________心．4．在内部，则是的________心．是的________心．是的________心．当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．5．所在直线一定通过的________心．6．所在直线

5、一定通过的________心．7．所在直线一定通过的________心．8．已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的________心．（答案：1．重心．2．内心．3．外心．4．垂心（提示：为的垂心．因为在内部，所以，所以，同理，．又，所以）．5．内心．6．重心．7．垂心．提示：设））8．重心．提示：，所以，设，则，即．因为经过的中点，三点共线，所以的轨迹一定经过的重心．）二、三角形形状的判定1．为所在平面内一点，且满足，则三角形形状为_______三角形．1．解：由条件，得，即，所以，即．所以是等腰三角形．2．已知非零向量和满足条件，且，则是_______

6、____三角形．2．解：设，则为的角平分线；又由得到，所以．由得到，所以为等边三角形．3．在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为__________．3．解：因为是边的中点，所以，所以．因为与不共线，所以且，所以，即为等边三角形．三、向量分解问题1．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则__________，__________．1．解：不妨设，则，．由于，所以过点作的垂线，与的延长线交于点，则．∵，，∴，．２．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是________．解法１：设，由可得，，即∴．∴的最大值是

7、．解法２：以点为坐标原点，为轴，建立平面直角坐标系，则，．设（），由可得，，∴，，∴，，∴，∴的最大值是．解法３：设，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，由及可知，，．又，在中，由正弦定理得，∴，，∴，∴的最大值是．3．为内一点，，，，，，设，则__________．3．过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，则，，所以，，，，所以，所以，，所以．四、向量间的夹角（余弦