初中数学培优竞赛讲座第25讲__奇数、偶数和奇偶分析范文

初中数学培优竞赛讲座第25讲__奇数、偶数和奇偶分析范文

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1、专业整理第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数,奇数与偶数有下列基本性质:1.奇数≠偶数2.两个整数相加(减)或相乘,结果的奇偶性如下表所示3.若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数;偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和为偶数.4.设m、n是整数,则m土n,的奇偶性相同.5.设m是整数,则m与,mn的奇偶性相同.奇偶性是整数的固有属性,通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法.例题【例1】三个质数之和为86,那么这三个质数是.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质,从分析三个加数的

2、奇偶性人手.注:18世纪的哥尼斯堡,有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来,在这迷人的地方,人们议论着一个有趣的问题.一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥,而最后又回到出发点.1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题.欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形,他指出只要我们能从一点出发,不重复地一笔把这样的图形画出来,那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥,这就是著名的“一笔画”问题的来历.利用奇偶分析不难得到一般的结论:凡是能一笔画成的图形,它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来,一笔出去.因此,除了起点和终点外的

3、每一个点都有偶数条线和它相连.简单地说,当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时,这个图形才能一笔画.【例2】如果a、b、c是三个任意的整数,那么().A.都不是整数B.至少有两个整数C.至少有一个整数D.都是整数(2001年TI杯全国初中数学竞赛题)思路点拨举例验证或从a、b、c的奇偶性说明.【例3】(1)设1,2,3,…,9的任一排列为al,a2,a3…,a9.求证:(all一1)(a2—2)…(a9—9)是一个偶数.(2)在数11,22,33,44,54,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“+”或“一”

4、号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.思路点拨(1)转换角度考察问题,化积的奇偶性为和的奇偶性来研究;(2)由于任意添“十”号或“一”号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质人手.【例4】已知都是+1或一1,并且,求证:n是4的倍数.思路点拨可以分两步,先证n是偶数2k,再证明k是偶数,解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发,挖掘隐含的一个等式.【例5】游戏机的“方块”中共有下面?种图形.每种“方块”都由4个l×l的小方格组成.现用这7种图形拼成一个7×4的长方形(可以重复使用某些图形).

5、WORD格式专业整理问:最多可以用这7种图形中的几种图形?思路点拨为了形象化地说明问题,对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色,除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,其余6个方格各占2个黑格2个白格.注:对同一个数学对象,从两个方向考虑(n项和与积),再将这两个方面合在一起整体考虑,得出结论,这叫计算两次原理,通过计算两次可以建立方程,证明恒等式等.在一定的规则下,进行某种操作或变换,问是否(或证明)能够达到一个预期的目的,这就是所谓操作变换问题,此类问题变化多样,解法灵活,解题的关键是在操作变换中,挖掘不变量,不变性.一些非常规数字

6、问题需要恰当地数学化,以便计算或推理.引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法.所谓赋值法就是在解题时,将问题中的某些元素用适当的数表示,然后利用这些数值的大小,正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法.【例6】桌上放着七只杯子;杯口全朝上,每次翻转四个杯子:问能否经过若干次这样的翻动,使全部的杯子口都朝下?思路点拨这不可能.我们将口向上的杯于记为:“0”,口向下的杯子记为“1”.开始时,由于七个杯子全朝上,所以这七个数的和为0,是个偶数.一个杯子每翻动一次,所记数由0变为1,或由l变为0,改变了奇偶性.每一次翻动四个杯子,因此,七个之和的奇偶性仍

7、与原来相同.所以,不论翻动多少次,七个数之和仍为偶数.而七个杯子全部朝下,和为7,是奇数,因此,不可能.整数可以分为奇数和偶数两类.【例7】在1,2,3,…,2005前面任意添上一个正号或负号,它们的代数和是奇数还是偶数?思路点拨两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同,只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可.因两个整数的和与差的奇偶性相同,所以,在1,2,3,…,2005中每个数前面添上正号或负号,其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同,而1+2+3+…+2005=(1+2005)×2005=1003×2005为奇数;因此,所求代数和

8、为奇数.注:抓住“a+b与a—b奇偶性相同”,通过特例1十2十3十…十2005得到答案.【例8

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