北航最优化方法大作业

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1、1流量工程问题1.1问题重述定义一个有向网络G=(N,E),其中N是节点集,E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵,即N×E阶矩阵,且第l列与弧里(I,j)对应,仅第i行元素为1,第j行元素为-1,其余元素为0。再令bm=(bm1,…,bmN)T,fm=(fm1,…,fmE)T,则可将等式约束表示成:Afm=bm本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧,每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对,具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单,省区了未用到的弧。此外,弧上的数字表示弧的编号。此时,

2、c=((5,5…,5)1×13)T,根据上述四个约束条件,分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1×13)。图1网络拓扑和流量需求1.27节点算例求解资料1.1.1算例1(b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T)转化为线性规划问题:MinimizecTx1SubjecttoAx1=b1x1>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得:最优解为x1*=[4000000000000]T对应的最优值cTx1=201.1.2算例2(b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T)MinimizecTx2Su

3、bjecttoAx2=b2X2>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得:最优解为x2*=[0400000000000]T对应的最优值cTx2=201.1.3算例3(b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T)MinimizecTx3SubjecttoAx3=b3X3>=0利用Matlab编写对偶单纯形法程序,可求得:最优解为x3*=[4000400000000]T对应的最优值cTx3=401.1.4算例4(b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T)MinimizecTx4SubjecttoAx4=b4X4>=0利用Matl

4、ab编写对偶单纯形法程序,可求得:最优解为x4*=[4004000004000]T对应的最优值cTx4=60资料1.1计算结果及结果说明1.1.1算例1(b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T)算例1中,由b1可知,节点2为需求节点,节点1为供给节点,由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧1。图2算例1最优传输示意图求得的最优解为x1*=[4000000000000]T,即只经过弧1运输4个单位流量,其余弧无流量。又因为,每条弧的费用均为5,所以最小费用为20。经分析,计算结果合理可信。1.1.2算例2(b2=[4;0;-4;

5、0;0;0;0]T)算例2中,由b2可知,节点3为需求节点,节点1为供给节点,由节点1将信息传输至节点2的最短路径为弧2。图3算例2最优传输示意图求得的最优解为x2*=[0400000000000]T,即只经过弧2运输4个单位流量,其余弧无流量。又因为,每条弧的费用均为5,所以最小费用为20。经分析,计算结果合理可信。1.1.3算例3(b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T)算例3中,由b3可知,节点2为需求节点,节点3为供给节点,由节点3资料将信息传输至节点2的最短路径为弧5->弧1。图4算例3最优传输示意图求得的最优解为x3

6、*=[4000400000000]T,即经过弧5运输4个单位流量至节点1,再经弧1运输4个单位流量至节点2,其余弧无流量。又因为,每条弧的费用均为5,所以最小费用为40。经分析,计算结果合理可信。1.1.1算例4(b4=[4;0;0;0;0;0;-4]T)算例4中,由b4可知,节点7为需求节点,节点1为供给节点,由节点1将信息传输至节点7的最短路径为弧1->弧4->弧10。资料图5算例3最优传输示意图求得的最优解为x4*=[4004000004000]T,即经过弧1运输4个单位流量至节点2,再经弧4运输4个单位流量至节点5,最后经

7、弧5运输4个单位流量至节点7,其余弧无流量。又因为,每条弧的费用均为5,所以最小费用为60。经分析,计算结果合理可信。资料1重要算法编写与观察1.1习题5.6(a)初值为(0,0)时本算法令g的2范数在<10-4时,停止迭代,经过86次迭代收敛。收敛因子(f(k+1)-f*)/(f(k)-f*)=0.7623图6收敛因子截图(b)初值为(-0.4,0)时本算法令g的2范数在<10-4时,停止迭代,经过112次迭代收敛。收敛因子(f(k+1)-f*)/(f(k)-f*)=0.81资料图7收敛因子截图(a)初值为(10,0)时本算法令

8、g的2范数在<10-4时,停止迭代,经过5次迭代收敛。收敛因子(f(k+1)-f*)/(f(k)-f*)=3.9022e-4图8收敛因子截图资料(a)初值为(11,0)时本算法令g的2范数在<10-4时,停止迭代,经过2次迭代收敛。收敛因子(f(k

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