北航机械优化大作业

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1、现代机械优化设计授课老师：王春洁2014-12-17北京航空航天大学现代机械优化设计目录第一部分一、一维优化方法21.进退法22.格点法23.牛顿法24.二次插值3应用原则：4二、多维无约束优化41.梯度法42.二阶牛顿法与阻尼牛顿法53.DFP变尺度法64.单纯形法6三、多维约束优化61.随机方向搜索法82.可行方向法83.惩罚函数法8第二部分一、采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题101.1问题的描述111.2多维约束优化14总结与致谢18参考文献19第19页北京航空航天大学现代机械优化设计第一部分本部

2、分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。一、一维优化方法1.进退法由单峰函数的性质可知，在极小点左边函数值应严格下降，而在极小值右边函数值应严格上升。因此，可从某一个给定的初始点出发，以初始步长沿着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“高---低---高”变化为止。2.格点法格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把搜索区间等分成n个点，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标，之后，在两侧取临点，作为新的区间并判断是否成立

3、，倘若成立，则就是最优解，对应的函数值即为最优值；若不成立则以为新区间重复以上过程直到满足条件为止。3.牛顿法牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。当目标函数有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线上作一系列切线，使之与轴的脚垫逐渐趋于的根。对于一维搜索函数，假定已经给出极小点的一个较好的近似点，在点附近用一个二次函数来逼近函数：然后以该二次函数的极小点作极小点的一个新的近似点。根据极值必要条件：即：可得：依次继续下去可得到牛顿迭代公式：其具体计算步骤概括为：第19页北京航空航天大学现代机械优化设计1)给

4、定初始点，控制误差，并令;2)计算，；3)根据牛顿迭代公式求；4)若则求得近似解，停止计算，否则转到5）；5)令转到1）。4.二次插值二次插值是多项式逼近法的一种。所谓多项式逼近，是利用目标函数在若干点的信息(函数值，导数值等)，构成一个与目标函数值很接近的低次插值多项式，然后利用该多项式的最优解作为函数的近似最优解，随着区间的逐次缩短，多项式函数的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐减小，直到满足一定的精度要求时迭代终止。设原目标函数在的三个点对应的函数值则可作出如下多项式：多项式的极值点可从极值的必要条件求得：即

5、：又由于：根据以上各式可知：式中：以上是插值法的公式推导过程，根据其基本思想概括其迭代过程如下：1)确定初始搜索区间，定出初始插值结点；2)利用式与计算与；3)终止条件判断l当时，如果，则为所求的极小点；如果，则为所求的极小点；第19页北京航空航天大学现代机械优化设计l当时，则需比较的大小，以便在中丢掉或，得到新的三点，然后再转2)。应用原则：一维优化算法是求一维目标函数的最优点和最优值。求单变量的极值问题，但是在很多时候函数的求导很困难，甚至根本不可导，而且计算机不擅长求导，求导是用其他算法实现的，计算量大，需要

6、的时间长。所以在优化过程中一般不采用解析法而采取直接探索法求最优点。这种求优方法称为一维优化方法。求解一维的最小值一般分为两步。第一步是确定函数值最小值所在的区间[a,b]，称为搜索区间；第二步是在该区间内求出最优步长因子或最优值。确定搜索区间的方法：进退法、外推法。一维最优化算法分有格点法、二次插值法、三次插值法等。格点法结构和程序很简单，但效率偏低；二次插值法和三次插值法的搜索效率较高，收敛速度较快，调用函数次数少。三次插值法的效率比二次插值法更高，在同样搜索次数下，其精度更高，但程序复杂，可靠性差些，对高维数

7、的优化问题更适宜，经过某些技术处理，方法的可靠度可以大为提高。二、多维无约束优化1.梯度法函数的梯度方向是函数值增加最快的方向，则负梯度方向必然是函数值下降最快的方向，所以在优化中采取负梯度矢量作为一维搜索的方向，成为最速下降法，也叫一阶梯度法。（此法属于解析法，既间接求优法）梯度法的迭代过程简单，对初始点的选择，要求不高。梯度方向目标函数值下降迅速只是个局部性质，从整体来看，不一定是收敛最快的方向。以二维二次函数为例，相邻两次的搜索方向是正交的，所以搜索路径是曲折的锯齿形的；对于高维的非线性函数，接近极值点处，容

8、易陷入稳定的锯齿形搜索路径。目标函数在点的梯度为：搜索方向为梯度方向：第19页北京航空航天大学现代机械优化设计梯度法的迭代公式为：式中：是函数在迭代点处的梯度；最优化步长。概括其迭代过程为：1）任选初始迭代点，选定收敛精度，令；2）确定点的梯度，并确定搜索方向；3）判断是否满足迭代终止条件，若满足，则给出最优解，否则转向下一步；4）从出发，沿负梯度方向做一维