三角恒等变换专题复习学案

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1、.三角恒等变换【考情分析】三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查，经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点．在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β，cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β，tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α，cos2α＝cos2α－sin2α＝2c

2、os2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.3．有关公式的逆用、变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.5.ω＞0时周期周期周期【考题体验】1．(2013·江西高考)若sin＝，则cosα＝(　　)A．－B．－C.D.[来源:学.科.网Z.X.X.K]解析：选C　因为sin＝，所以cosα＝

3、1－2sin2＝1－2×2＝.[来源:学&科&网Z&X&X&K]2．（2014·高考课标卷）已知，则（）A.B.C.D.解析：选A3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)A.B.C.D．1解析：选D　tan(α＋β)＝tan＝＝＝1........4．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－，又α∈，∴sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝..Com]5．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝______

4、__.解析：∵tan(20°＋40°)＝，∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.【典型例题】考向一：求角问题例1：已知且，求的值.变式1：已知考向二：三角函数的化简求值例2、(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝(　　)A.　　;B.;C.;D．2－1[解]　4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝.【方法规律】1．三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．即用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分

5、析如下：（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；（2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；（3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.2．解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；[来源:学

6、科

7、网](3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．变式2：(2014·嘉兴模拟)的值是(　　)A.B.C.D.解析：选C　原式＝.......＝＝＝.考点三：三角函数的

8、条件求值[来源:Z&xx&k.Com][例3]　(1)(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)A.B.C．－D．－(2)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.①求f的值；②若cosθ＝，θ∈，求f.[解]　(1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得tan2α＝－.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝，cosα＝，这时sinα＋2cosα＝符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C

9、.(2)①f＝cos＝cos＝cos＝1.②f＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝－.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以f＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.【互动探究】保持本例(2)②条件不变，求f的值．解：因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cosθ＋sinθ＝－＝－.　　　　　【方法规律】三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2)给值求值：关键是找出已知式与

10、待求式之间的联系及函数的差异．①一般可