文科经管类微积分第九章常微分方程

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第五十六讲脚本编写：教案制作：微分方程的基本概念设所求曲线的方程为yy(x).例1.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.根据导数的几何意义,可知未知函数yy(x)应满足解:此外,未知函数yy(x)还应满足下列条件:由(1)式得，其中C是任意常数.—(1)x1时,y2.—(2)把条件“x1时,y2”代入(3)式,得212C,C1.把C1代入(3)式,得所求曲线方程:yx

2、21.—(3)下页微分方程常微分方程与偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例2.列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解:设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米.根据题意未知函数ss(t)应满足:s=-0.4.—(1)s

3、t0=0,s

4、t0=20.—(2)由(1)式，

5、积分一次,得s=-0.4tC1;—(3)再积分一次,得s0.2t2C1tC2,—(4)这里C1,C2都是任意常数.把条件s

6、t0=20代入(3)式得20C1;把条件s

7、t0=0代入(4)式得0C2.把C1,C2的值代入(3)及(4)式得v0.4t20,—(5)s0.2t220t.—(6)在(5)式中令v0,得t=50(s).再把t50代入(6),得s0.25022050500(m).下页提示:微分方程常微分方程与偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程,叫

8、常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.它们都是微分方程例1中所列的关系式为s=-0.4.例2中所列的关系式为下页凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.提示:例1中所列的关系式为s=-0.4.例2中所列的关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分方程几个基本概念下页几个基本概念提示:微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.在例1中,微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.在例2中,微

9、分方程s=-0.4的解有s0.2t2C1tC2,s0.2t220tC2和s0.2t220t.下页求所给函数的导数:解:这表明函数满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解.下页例2由上式得:下页若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个常数，那么这两个常数是独立的，中的是独立的，而中的可以合并为一个常数，所以这里的　　不独立．例如常数互相独立几个基本概念提示:微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.通解如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微

10、分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.特解确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解叫特解.在例1中,微分方程y=2x的解有y=x2C和y=x21.在例2中,微分方程s=-0.4的解有s0.2t2C1tC2,s0.2t220tC2和s0.2t220t.通解通解通解特解什解什么解?下页解通解特解其它共同点：不同点：几个基本概念提示:初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分

11、方程,通常用于确定任意常数的条件是例1是求微分方程　　　满足初始条件y

12、x12的解.例2是求微分方程s=-0.4满足初始条件s

13、t0=0,s

14、t0=20的解.下页y=2x几个基本概念初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.问题,记为提示:例1是求微分方程　　　满足初始条件y

15、x12的解.例2是求微分方程s=-0.4满足初始条件s

16、t0=0,s

17、t0=20的解.下页y=2x例解微分方程初始条件通解特解作业P1

18、651.(1)(3)(5)3.2.5.高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）脚本编写：教案制作：可分离变量的微分方程§9.2可分离变量的微分方程上页下页铃结束返回首页第二节可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程.称则下页例2.求微分方程的通解.方程可化为解:分离变量得两边积分得于是原方程的通解为解或解例2(C1为任意常数)例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说