文科经管类微积分第七章

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1、高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第三十九讲二元函数的基本概念脚本编写：教案制作：§7.1二元函数的基本概念一、邻域二、二元函数概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性上页下页铃结束返回首页二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积二元函数的微积分下面在一元函数微积分的基础上,来研究多元函数的微积分.因从一元函数到二元函数将会面临一些新问题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推;需首先介绍一些空间故下面主要研究二元要研究二元函数,现就必备知识作解析几何知识.简单介绍.函数的微积分及其应用.空间直角坐标系（三维直角坐标系）右手原则（

2、纵轴）（横轴）（竖轴）O平面平面平面O三个坐标平面分空间为八个卦限（演示）ⅢⅣⅠⅡⅤⅥⅦⅧ三个坐标平面八个卦限空间的点有序数组特殊点的表示:二、空间中点的直角坐标(称为点M的坐标)xyz空间中两点间的距离：∙两点间的距离点M到原点的距离平面直角坐标系oxy平面内任取一点O——原点过O点另作一垂线——y轴（纵轴）过O点做一直线——x轴（横轴）两坐标轴分平面为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限实数对对应平面内的点P，记作，分别称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。平面内的点p与实数对(x,y)一一对应ⅠⅡⅢⅣP(x,y)xyoxyP(x,y)xy平面内的点p与实数对(x

3、,y)一一对应一、区域1.邻域设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,d是某一正数.点集U(P0,d)U(P0,d){P

4、

5、PP0

6、

7、0<

8、PP0

9、

10、域，称为开区域；只包含部分边界的区域，称为半开半闭区域。D是闭区域D是开区域如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.区域举例D4={(x,y)

11、1x2+y24}.D3={(x,y)

12、1

13、x+y>0}.D2={(x,y)

14、x+y0}.下页开区域闭区域开区域无界区域无界区域有界区域有界区域闭区域二、二元函数概念二元函数的定义设D是xoy平面上的一个点集.如果对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数(或点P的

15、函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).在定义中,D是定义域,x和y是自变量,z是因变量.下页z=ln(x+y)是二元函数,其定义域为{(x,y)

16、x+y>0}(无界开区域).下页二、二元函数概念二元函数的定义设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数(或点P的函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).函数举例函数举例zarcsin(x2+y2)是二元函数,其的定义域为{(x,y)

17、x2+y21}(有界闭区域).下页二、二元函数概念二元函数的定义设D是平面

18、上的一个点集.如果对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数(或点P的函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).值域{z

19、z=f(x,y),(x,y)D}.二元函数的图形当(x,y)在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当(x,y)取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中"织"出一片曲面.按二元函数定义，对于任意(x,y)D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).值域{z

20、z=f(x,y),(x,y)D}.二元函数的图形按二元函数定义，对于任意(x,y)

21、D.可以唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).即二元函数表示空间中一片曲面,定义域D是该曲面在xoy平面上投影.例3求球心在点半径为R的球面方程.特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为M0MROxyz二元函数极限和连续性证明二元函数极限不存在的方法1、找出两条不同的路径使得点P沿这两条路径趋向于时，f(x,y)极限不相等.2、找一条特殊的路径（y=kx)使得f(x,y)的极限不存在.解当点(x,y)沿x轴(y=0)趋于(0,0)时,得但当点(x,y)沿抛物线趋于(0,0)时,却得（2）二元函数极限的求法极限的四则运算法则以及极限变量替

22、换法均仍成立。二元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似.=12=2.例2.解