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1、周圣武数理统计Tel:13852138385E-mail:zswcumt@163.com中国矿业大学理学院§1.3随机变量及其分布函数定义1设随机试验的样本空间在样本上的实值单值函数，称是定义为随机变量。2）随机变量的取值在试验之前无法确定,且取值有一定的概率。随机变量和普通函数的区别1）定义域不同也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数随机变量的取值一般采用小写字母x,y,z,u,v,w等表示.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,U,V,W等表示随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连
2、续型随机变量混合型随机变量随机变量的分类我们将研究两类随机变量：如：“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.（1）离散型随机变量（2）连续型随机变量如：“灯管的寿命”，“测量误差”等.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为:看一个例子1.离散型随机变量定义1若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量.其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）定义2设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量
3、X的分布律.解依据分布律的性质P(X=k)≥0,a≥0,从中解得即例1设随机变量X的分布律为k=0,1,2,…,试确定常数a.离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法X例2某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解X可取值为0,1,2;P{X=0}=0.1×0.1=0.01P{X=1}=2×0.9×0.1=0.18P{X=2}=0.9×0.9=0.81X的分布律为X例3设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独
4、立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则将带入可得的分布律为（1）(0—1)分布定义1如果随机变量X的分布律为则称X服从参数为p的(0—1)分布。即或2.常用的离散型随机变量（0—1）分布的分布律也可写成■伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）①重复独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。（2）二项分布“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响.②伯努利概型设随机
5、试验E只有两种可能结果，且将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或n重伯努利概型。掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A或.这样的试验E称为伯努利试验.■二项分布n重伯努利试验中,“事件恰好发生k次”,即的概率为：定义2如果随机变量的分布律为则称服从参数为的二项分其中布，记为特别,当时,二项分布为这就是（0—1）分布，常记为例1已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概
6、率.，于是所求概率为则表示所取的3个中的次品数，解设例2一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20只，问20只元件中恰好有k只(k=0,1,2,....20)为一级品的概率为多少？解设表示20只元件中为一级品的只数，这个试验可以看作伯努利试验。例3某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率？解设表示击中的次数，则所以分布律则所求概率定理1（泊松Poisson定理)设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数定义1设随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,而且概率分布为：（3）泊松分布其中，则称服
7、从参数为的泊松分布，记近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用①排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数②生物存活的个数③放射的粒子数2.分布函数为X的分布函数。设X是一个随机变量，定义1是任意实数，称函数的值就表示X落在区间上的概率.分布函数对任意实数上的概率，用F(x)刻画随机点落在区间■分布函数的性质⑴单调不减性：⑶右连续性：对任意实数⑵归一性：，则具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该
8、三个性质是分布函数的充分必要性质。对任意实数x,，且解例1已知，求A，B。所以例2已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布律。解X的可能取值为3，4，5。所以X的分布律为例3设X表示弹着点与靶心的距离.已知：⑴击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积成正比；⑵靶子半径是2
