概率论基础知识及应用

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1、2012年全国大学生数学建模竞赛·暑期培训概率知识基础第2讲数学建模指导组黄新仁内容提要概率知识应用（案例）—彩票中的数学—指纹是否唯一—乒乓赛问题—报童的决窍概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差概率论基础知识概述—事件的概率—随机变量及其分布—数学期望及方差序言人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以及其他社会问题中，通常总是通过调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观察来获取所需要的资料。对社会现象的观察和对自然现象的

2、科学实验在概率论和统计学中都统称为试验。现象确定现象随机现象——相同条件下，结果总是相同——相同条件下，结果不总是相同一、概率论基础知识概述（1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；（2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知.随机试验（1）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；（2）在一批产品中任意抽取一件进行检验；（3）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；（4）对某产品进行的寿命.【举例】1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述随机事件及相关概念随机事件—

3、—随机试验的结果称为随机事件.基本事件——试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点.复合事件——由多个基本事件构成的集合.基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母A，B，C，…表示.样本空间——由试验E所有样本点组成的集合，常用字母S表示.必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S是必然事件.不可能事件——试验中不可能发生的事件，记为.——样本空间的任何子集.1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述【举例】SA1={出现偶数点}A2={小于4的点}A4={大于6的点}A3={不超过6的点}【例1】投一个

4、均匀的骰子，观察出现的点数，则有下列事件：【例2】在一批产品中连续抽取二次，每次任取一件进行检验，分别记为T、F为抽到正品和次品，则：S=A1={第一次抽到的是正品}A2={抽到一个正品}A3={两次抽到的质量相同}一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率事件的关系和运算一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率1.1随机事件及其概率例如：新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销；购买彩票中奖的可能性；项目投资后赢利或亏损的可能性等等；事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之

5、间有着非常密切的关系。在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。事件的概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率对于随机事件A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件A发生的次数nA与试验次数n之比将在某个确定的值附近波动。频率及其稳定性事件A发生的次数nA与试验次数n之比就称为事件A发生的频率，记为fn(A)，即一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率人们发现，随着重复试验次数的增多，事件A发生的

6、频率fn(A)就逐渐稳定地趋近于某个常数P(A)附近，这一客观存在的常数P(A)就称为事件A的概率。【著名的掷币试验】一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。主观概率一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率古典概率称满足以下条件的试验为古典概型：⑴试验的样本空间仅有有限个基本事件；⑵试验中每一基本事件发生的概率相等。【古典概型】若试验的样本空间S包含了n个样本点，事件A包含了其中的k个，则事件A发生的概率为：【古典概率】一

7、、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率：⑴A={全为正品}⑵B={恰有1件次品}⑶C={至少有3件次品}⑷D={至少有1件次品}P(B)==0.3394P(A)==0.5838解：=0.0066一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率条件概率与乘法公式设A、B是两个事件，且P(A)>0，称在A已发生的条件下B发生的概率，为B对A的条件概率，记为P(B

8、A).【计算式】【例5】产品抽样检验问题已知10件产品中有3件是次品，从中先后抽取2件，作不放回

9、抽样。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。（乘法公式）【定义】一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率全概率公式A1…A5称之为一个完备事件组，或样本的一个划分A2A5A4A1A3SB应用：知因求果一、概率论基础知识概述1.1随机事件及其概率贝叶斯公式贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应