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1、第四讲：应用MATLAB解决高等代数问题1.交换矩阵中的两个行向量的位置；2.用一个非零数乘以矩阵的某一行向量3.把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵的另一行上一、矩阵的初等变换与方程的MATLAB求解例：求解线性方程组线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程经过初等行变换将矩阵变为矩阵这时矩阵对应的方程组此方程组的解为A=[3-153;1-121;1-2-12]%输入矩阵的数据A([13],:)=A([31],:)%交换第一行和第三行数据A(2,:)=A(2,:)-A(1,:)%将第一行乘以-1加到第二行A(3,:)=A(
2、3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以-3加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:)%将第二行乘以-5加到第三行方法之一：初等变换法A=[3-153;1-121;1-2-12]%输入矩阵的数据formatrat%分数数据格式rref(A)%化简矩阵方法之二：Cramer法则A=[3-15;1-12;1-2-1]%输入矩阵的数据B=[312]‘;%输入线性方程组的常数项S=[000]‘;%给解向量赋初值fori=1:3%for循环C=A;%将矩阵A赋给临时矩阵CC(:,i)=B;%将常数项赋给矩阵C的第i列即求AiS
3、(i)=det(C)/det(A);%求xiendformatrat%数据格式说明为分数形式S%显示S方法之三：利用矩阵的左除“”A=[3-15;1-12;1-2-1]；b=[312]‘；x=Abx=10/7-1/7-2/7二、线性方程组的解结构1。齐次方程组的解结构AX=0求解方程过程如下根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为向量形式量提取方程组右端各自由求知量的系数形成的向量组即为基础解系将系数矩阵化为最简行阶梯形矩阵例：解线性方程组：应用MATLAB计算过程如下：A=[1–11–1;1–1–11;
4、1–1–22]%输入矩阵rref(A)%将矩阵化为最简阶梯形矩阵运行结果为：A=1-11-11-1-111-1-22ans=1-100001-10000由运行结果知化简的等价方程组为：取x2，x4为自由求知量，得方程组的解的向量形式为所以齐次方程组的通解为所以基础解系为：2.非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下：1）、写出非次方程组的增广矩阵；2）、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵；3）、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等，若相等则方程组有解，若不相等则方程组无解；4）、写出对应的简化的线性方程组；5）、确定
5、自由求知量6）、整理方程组为向量形式。例：求解下列非齐线性方程组在MATLAB中输入的命令如下A=[1231;1452;2983;3772];b=[3;2;7;12]；formatratc=[Ab]；rref(c);计算结果如下ans=100-1/231/601002/30011/2-7/600000所以简化方程组为：所以原线性方程组的通解为：取x4为自由求知量三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义：如果存在m个不全为零的一组数k1,k2,…,km使成立，则称向量组是线性相关的。如果仅当k1=k2=…=km
6、=0时设有m个向量1）将给定的m个向量组的写成列向量形式，组成一个n×m阶的矩阵2.应用MATLAB进行向量组的线性相关性的判定步骤：才有上面的等式成立，则称向量组线性无关2)判定是否存在不全为零的一组数k1,k2,…,km使得即判定线性方程组是否有非零解，从而有这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解，则说明该向量组线性无关。3）用命令rref将矩阵A化为最简行阶梯形矩阵；4）观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目m,若小于m则向量组线性相关；否则线性无关。例判断下列向量组的线性相关性1)、a1=[4
7、3–11–1],a2=[21–32–5]a3=[1–301–2],a4=[152–16]2）a1=[10014],a2=[01025],a3=[00136]a4=[1231432],a5=[4563277](北京大学数学力学系《高等代数》p15116-4）解：1)先在MATLAB中将上面四个向量以行向量数据形式输入，再转置为列向量组成的矩阵，然后用rref命令将其化为最简行阶梯形矩阵，命令如下A=[43-11-1;21-32-5;1-301-2;152-16]A=A'rref(A)ans=10000100001000010000
8、最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为零为行向量数为4，而向量组中向量数也是4,所以向量组是线性无关的。a1=[10014],a2=[01025],a3=[00136]a4=[1231432],a5=[4563277]A=[a1;a2;a3;a4;a5]r
