离散时间傅立叶变换discretetimefouriertransform

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1、第三章离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform主要内容：1.离散时间傅立叶变换——定义、性质、收敛条件2.DTFT定理3.离散时间序列的能量谱密度4.带限离散时间信号5.Matlab应用6.离散时间系统频率响应3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform3.2.1定义序列x[n]的离散时间傅立叶变换(DTFT)X(ej)分析式:在原始信号中存在多少复指数信号综合式:能从任意信号的复指数分量中综合出该信号例3.5—单位抽样序列d[n]的DTFT例3.6—因果指数序列其DTFT

2、如下：当X(ej)=1/(1–0.5e-j)的幅度谱和相位谱

3、X(ejω)

4、=

5、X(e-jω)

6、θ(ω)=-θ(-ω)X(ej)是ω的连续周期函数，周期是2π3.2.2基本性质一般情况下,X(ej)实变量的复函数3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform实部虚部3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransformX(ej)又可写成：相位谱phasespectra幅度谱magnitudespectra若序列x[n]是实序列，则和是ω的偶函数，是ω的奇函数3.2离散时间傅立叶

7、变换Discrete-TimeFourierTransform对于所有的ω值，相位函数不能唯一确定因此，相位函数取值范围设为称为主值区间（principalvalue）因为3.2.3对称关系（SymmetryRelations）1.复序列则3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform3.243.253.262.共轭对称性A共轭对称序列（函数）：共轭对称序列（函数）实部是偶函数，虚部是奇函数3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransformB共轭反对称序列（函数）：共轭反对称序列（函数

8、）实部是奇函数，虚部是偶函数3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform2.共轭对称性C一般函数可分解为共轭对称分量和反共轭对称分量组成，即：式中对于序列x[n]，也有同上面类似的概念和结论。3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform3.303.31a3.31b3.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransform（1）则D.傅立叶变换的对称性表现为3.273.303.333.323.2离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTr

9、ansform结论：实序列的傅立叶变换具有共轭对称性,虚数序列的傅立叶变换具有共轭反对称性一般序列实部对应的傅立叶变换具有共轭对称性质，虚部（包括j）对应的傅立叶变换具有共轭反对称性质（2）式中结论：序列的共轭对称部分xcs(n)的傅立叶变换是X(ej)的实部。共轭反对称部分xca(n)的傅立叶变换是X(ej)的虚部。D.傅立叶变换的对称性表现为3.343.35表3.1复序列的DTFT的对称关系(P102)表3.2实序列的DTFT的对称关系(P104)3.2.4收敛条件（ConvergenceCondition）上式中的无穷级数可能收敛也可能不收敛

10、设称级数一致收敛(uniformconvergence)于X(ej)1.一致收敛(uniformconvergence)当若x[n]是绝对可和的序列（absolutelysummablesequence）则：满足上式的所有ω值都能保证X(ej)存在x[n]的绝对可和是X(ej)存在的充分条件（sufficientcondition）由于绝对可和的序列一定具有有限的能量其DTFTX(ej)一致收敛于例序列

11、

12、<1是绝对可和的然而，一个能量有限的序列不一定是绝对可和的。例如：E但是，x[n]不是绝对可和的序列具有有限能量，能量有限，但不绝对可和的

13、序列x[n]，为了用DTFT表示，要考虑X(ejω)的均方收敛其中此时，当K→∞时，误差不一定趋于零，DTFT也不再有界2.均方收敛(mean-squareconvergence)例3.8一个DTFT的均方收敛示例考虑一个DTFT根据帕斯瓦尔关系得序列的能量：能量有限，但不绝对可和的DTFT反变换如下：下面进一步研究hLP[n]的均方收敛性，设下图为K取不同值时的幅度图因此对所有ω值不是一致收敛到，但在均方意义下该式可收敛到。K=10K=20K=30K=40由图中可知，曲线上在点ω=ωc的邻域附近存在波纹（ripples），这与式中求和项无关。波纹的数

14、量随着K值的增加而增加，最大波纹的对所有K值都保持一致。随着K趋向无穷，表明收敛于，在图中间断