N第二章离散时间傅立叶变换(DTFT)

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1、第二章时域离散信号与系统的频域分析离散时间傅立叶变换的定义DTFT的主要性质周期序列的离散傅立叶变换时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系离散系统的频域特性序列的傅立叶变换及其基本性质的应用离散系统的频域特性学习内容：学习重点、难点：2.1连续时间信号和系统的频域分析知识回顾1、连续时间周期信号特点：时域连续，频域离散连续时间周期信号的傅里叶级数对2、连续时间非周期信号连续时间非周期信号的傅里叶变换对特点：时域连续，频域连续2.2离散时间傅立叶变换的定义及性质2.2.1离散时间傅立叶变换定义（DTFT)1、正变换：反变换：2、序列傅立叶变换

2、存在的条件序列绝对可和，一致收敛，FT存在特殊序列（周期序列，u(n）)等，引入δ冲激函数，FT也存在。频谱用实部和虚部表示频谱用幅度和相位表示幅度特性相位特性3、序列的幅度谱与相位谱频谱是ω的连续周期函数，周期为2π。DTFT频谱特点：时域离散，频域连续，以2π为周期。例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。解:当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。clc;clear;y=[1111];x=0;n=[0:3];w=0:0.01:2*pi;subplot(311);stem(n,y);xlabel('n');ylabe

3、l('x(n)');forn=0:3x=x+exp(-j*w*n);endxx=abs(x);subplot(312);plot(w,xx);xlabel('w');ylabel('幅度')yy=angle(x);subplot(313);plot(w,yy)xlabel('w');ylabel('相位')程序清单例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立叶变换，并讨论其收敛性。解：此序列的傅立叶变换为：

4、a

5、<1

6、a

7、<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。2.2.2序列傅立叶变换的性质1、FT的周期性其中，0，2π，4π…对应直流

8、分量π，3π，5π…对于信号的最高频分量对信号频谱只需分析－π～π之间或0～2π之间因此：X(ejω)以2π为周期2、线性性质3、时移与频移性质时域移位，频域有相移时域调制频域移位4、指数加权，线性加权5、时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)证明：令k=n-m时域卷积，频域乘法6、频域卷积定理设y(n)=x(n)•h(n),则频域卷积，时域乘法7、帕斯瓦尔定理（Parseval）内容：时域、频域能量守恒。即信号时域的总能量等于频域的总能量。证明：将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n

9、)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)对比上面两公式，左边相等，因此得到xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)（1）共轭对称序列：若满足下式：xe(n)=x*e(-n)则称xe(n)为共轭对称序列。概念：共轭对称序列的性质：实部是偶函数，虚部是奇函数。8、DTFT的对称性（2）共轭反对称序列：若满足下式：xO(n)=-x*O(-n)则称xO(n)为共轭反对称序列。共轭反对称序列的性质：实部是奇函数，虚部是偶函数。例：共轭对称序列5－j4－j04＋j5＋j共轭反对

10、称序列－5＋j－4＋j04＋j5＋j（3）对任意序列x(n)任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，x(n)=xe(n)+xo(n)由x*(-n)=xe(n)-xo(n)有：任意序列x(n)X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（4）对序列x(n)的X(ejω)Xe(ejω)=X*e(e-jω)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)对称性：（1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解其中证明略（2）若

11、序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对称分量x0(n）之和x(n)=xe(n)+xo(n)则X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解其中有：由：证明（3）实因果序列的对称性因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为：若x(n)是实序列，则其FT只有共轭对称部Xe(ejω)，共轭反对称部分为零。X(ejω)=Xe(ejω)=X*(e-jω)XR(ejω)=XR(e-jω)XI(ejω)=-XI(e-jω)

12、X(ejw)

13、－－－－幅度是w的偶函数arg[X(ejw)]－－－

14、－相角是w的奇函数x(n)为实序列：x(n)=xe(n)+xo(n)例x(n)=anu(n);0