相似矩阵及二次型

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1、第五章相似矩阵及二次型第一节向量的内积、长度及正交性一、内积的定义和性质定义1内积的运算性质内积定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质单位向量夹角１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法证明３正交向量组的性质例1已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解５规范正交基例如（1）正交化，取，６求规范正交基的方法（2）单位化，取施密特正交化过程例2解再把它们单位

2、化，取几　何　解　释例3解把基础解系正交化，即合所求．亦即取定义4四、正交矩阵与正交变换注意：为正交矩阵的充要条件是的列向量都是单位向量且两两正交．性质正交变换保持向量的长度不变．证明定义5若为正交阵，则线性变换称为正交变换．例4解第二节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念说明解例5例6解例7设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：例４证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明第三节相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念证明推论若阶方阵A与对角阵结论三、利用相似变换将方阵对角化如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵

3、相似．推论说明如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．定理5对称矩阵的特征值为实数.第四节对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质证明于是根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.第五节二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示三、

4、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第六节用配方法化二次型成标准形用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．解例1所用变换矩阵为第七节正定二次型一

5、、惯性定理二、正(负)定二次型的概念证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性故推论　对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例1判别二次型的正定性.解