2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案理

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1、§9.1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲展示►　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．考点1　直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角的取值范围是________．答案：(1)向上方向　平行或重合　(2)

2、[0，π)2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角α不是90°，则斜率k＝________.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.答案：(1)tanα　斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围．(1)当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为________．答案：90°解析：当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.(2)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．答案：∪解析：设直线的倾斜角为θ.依

3、题意知，斜率k＝－cosα.∵cosα∈[－1,1]，∴k∈[－1,1]，即tanθ∈[－1,1]．-13-又θ∈[0，π)，∴θ∈∪.求斜率或倾斜角：公式法．已知直线l经过A(－cosθ，sin2θ)，B(0,1)两个不同的点，则直线l的斜率为________，倾斜角的取值范围是________．答案：cosθ　∪解析：当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B两点重合，∴cosθ≠0，∴斜率k＝cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，因此倾斜角的取值范围是∪.[典题1]　(1)设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(

4、θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A．[0，π)B.C.D.∪[答案]　C[解析]　当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角α＝；当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝tanα＝－.∵cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，-13-即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈∪.综上知，倾斜角α的取值范围是，故选C.(2)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．[答案]　[－，0)∪[解析]　当≤α<时，≤tanα<1，∴

5、≤k<1.当≤α<π时，－≤tanα<0，即－≤k＜0.∴k∈∪[－，0)．(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．[答案]　(－∞，－]∪[1，＋∞)[解析]　如图所示，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴直线l斜率的取值范围为-13-(－∞，－]∪[1，＋∞)．[题点发散1]　若将本例(3)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，kBP＝＝.如图可知，直线l斜

6、率的取值范围为.[题点发散2]　若将本例(3)的条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的取值范围．解：解法一：如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由图可得，直线l的倾斜角α的取值范围是∪.解法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．-13-∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1.∴直线l的倾斜角α的取值范

7、围是∪.[点石成金]　求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点(1)两个步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．(2)一个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点2　直线方程直线方程的五种形式答案：y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)-13-(1)[教材习题改编]直线l的倾斜角为60°，且在x轴上的截距为－，则直线l的方程为________．答案：3x－y＋1＝0解析：由题意可知，直线l的斜率为，且该直线过，∴直线l

8、的方程为y＝，即3x－y＋1＝0.(2)[教材习题改编]若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________．答案：A≠0且B≠0解析：直线Ax＋By＋C＝0与x轴相交