2015考研数学 高等数学重难点题型精讲讲义

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1、考研论坛----考研人的精神家园2015考研数学高等数学重难点题型讲义【题型一】求函数极限x-xx【例1】求极限limx®1ln1-x+x【例2】求极限limx®0xòx2sintx2xtdtarcsinx-sinx【例3】求极限limxarctantan®0x-x1bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园x21+-1+x22【例4】求极限limx0(cos-2)sinx®xex2ex-13【例5】求极限limx01-cosx-sin®xin2【例6】求极限limx®0)x2x2bbs

2、.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园1【例7】求极限xxlim(1+)-esin2x1cosx®012【例8】求极限lim(cos2x)xx®01f(x)【例9】设f(x)在原点的某邻lim(1+x+)x=e3x®0x，)求.f0),f(0),f()x(¢¢¢3bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园x2x32+-1【例10】f(x)=ex的渐近线有条x12-【题型二】函数间断点的判定【例1】求f(x)ì3-xx,x<ïïsinpx=í1ï++ln(1x)sin,xï

3、î并指出类型4bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园【题型三】极限的反问题æx-ö22ax+-¥【例1】已知òlim，求a=.4xedxç÷=xx®¥è+xaøacosx+bòsint+¥【例2】已知limdt=5，求a=，bx®¥-a0tex【例3】已知lim000，求a=，b=.n¥®n5bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园1sint5xsinx【例4】已知(=ò，=ò+fx)dtg(x)(1t)tdt，则当x®0时，f(x)是g(x)的t00（A）高阶无

4、穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价（D）等价无穷小【例5】求A,B,C使ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3).【题型四】与积分有【例1】求极限limn®¥L+n6bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园æön+1n+2n+n【例2】求极限nL÷lim+++ç ç®nnn¥nn+1nn+2+èø1nò+®¥0【例3】求极限limxn2xdx.【题型五】方程根的【例1】确定方程2x=1+x2的实根的个数.7bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园【例2】证

5、明方程arctan30恰有两个实根.4x-x+4p-=3【例3】讨论方程ex=ax2有几个实根.【题型】微分中值定理【例1】已知f(x)在(-¥,+¥)上连续，f(a)=f(b)=0，且f¢(a)f¢(b)>0(a

6、3】已知f(x)在[0,1]上可导，=òf(1)22xf(x)dx0证明：存在xÎ(0,1)，使得f(x)+xf¢(x)=0.【例4】已知f(x),存在二阶导数，且g¢¢(x)¹0，f(a)=f(b)=g(a证明：（1）在(a,b)内，g(x)¹0（2）在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)g(x)¢¢xf()=.g¢¢(x)9bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园f(x)f(x)【补充】设f(x)在[0,1]上二阶可导，且lim=1,lim=2x0x®1®xx-1证明：（1）存

7、在xÎ(0,1)，使得f(x)=0，（2）存在hÎ(0,1)，使得f¢¢(h)=f(h).【例5】设f(x)是[0,1]上可导，f(0)=0,f(1)=1，证明存在点1,xÎ(0,1)x，211使得+=2.¢xf¢xf()()121【例6】已知f(x)在，(0,1)内可导，f(0)=0,f(1)=，311证明：存在xÎ(0,),hÎ(,1)使得f¢(x)+f¢(h)=x2+h2.2210bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园【例7】已知f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导(0

8、£aa时，f(x)可导，且limf¢(x)x®+¥存在，limf)，x证明：lim¢()=0fx.x®+¥【例9】设f(x+h)=f(x)+hf¢(x+qh)(0¢¢f(x)解析：由泰勒公式-+Lf(x)