高中数学第一章解三角形本章整合学案新人教b版必修5

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1、第一章解三角形本章整合知识网络专题探究专题一　判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a＝2R·sinA将边化角，利用余弦定理的推论如cosA＝把角的余弦化边，或利用sinA＝把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，

2、C的对边，①若a2＋b2＝c2，则∠C＝90°；②若a2＋b2>c2，则∠C<90°；③若a2＋b290°；④若sin2A＝sin2B，则∠A＝∠B或∠A＋∠B＝．【应用1】在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．解析：∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a∶b∶c＝2∶3∶4．6设a＝2m，b＝3m，c＝4m(m>0)，

3、∵c>b>a，∴∠C>∠B>∠A．∴cosC＝＝＝－<0．∴∠C是钝角．∴△ABC是钝角三角形．答案：钝角【应用2】在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．解：解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC．∵∠B＝60°，∴∠A＋∠C＝120°．∴∠A＝120°－∠C，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－∠C)＋

4、sinC，展开，整理得sinC＋cosC＝1．∴sin(∠C＋30°)＝1．∴∠C＋30°＝90°．∴∠C＝60°．故∠A＝60°．∴△ABC为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB．∵∠B＝60°，b＝，∴2＝a2＋c2－2accos60°．整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c．从而a＝b＝c．∴△ABC为等边三角形．专题二　恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关

5、系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．【应用1】在△ABC中，求证：(1)＝；(2)a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．提示：6本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k，显然k≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．(2)根据余弦定理，右边＝2ca·＋ab·＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝左边，即原等式成立．

6、【应用2】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．求证：cotA＋cotB＋cotC＝．提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．证明：由余弦定理，得cosA＝，所以cotA＝＝＝，同理可得cotB＝，cotC＝，所以cotA＋cotB＋cotC＝＋＋＝．专题三　三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：(1)S△ABC＝aha＝bhb＝chc．(2)S△ABC＝absinC＝bcsinA＝

7、acsinB．(3)S＝．【应用】(2013·重庆高考，文18)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc．(1)求∠A；(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时∠B的值．提示：(1)利用余弦定理求∠A；(2)利用正弦定理及面积公式将面积S表示出来，再用三角变换的知识求出最值．解：(1)由余弦定理得cosA＝＝＝－．又因0<∠A<π，所以∠A＝6．(2)由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝得S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，因

8、此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(∠B－∠C)．所以，当∠B＝∠C，即∠B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3．专题四　正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练