高中数学第二章数列本章整合学案新人教b版必修5

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1、第二章数列本章整合知识网络专题探究专题一　求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法【应用1】已知数列，，－，，－，，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．解析

2、：观察数列每项的绝对值，分母为2，4，8，16，32，…，是2n的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”8这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故an＝(－1)n．答案：an＝(－1)n(二)定义法【应用2】等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a．求数列{an}的通项公式．提示：本题已知{an}是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．解：设数列{an}的公差为d(d>0)．∵a1，a3，a9成等比数列，∴

3、＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得d2＝a1d．∵d＞0，∴a1＝d．①∵S5＝，∴5a1＋d＝(a1＋4d)2．②由①②，得a1＝，d＝．∴an＝＋(n－1)×＝n．(三)Sn法【应用3】设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1．求数列{an}和{bn}的通项公式．提示：本题已知Sn的表达式，自然想到使用公式an＝求解．解：当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时也适用，故{an}的通项公式为an＝4n－2．设{bn}的公比为q，则b2(a2－a1

4、)＝b1qd＝b1，又d＝4，∴q＝．又a1＝b1＝2，故bn＝b1qn－1＝2×，即{bn}的通项公式为bn＝．(四)累加法8【应用4】已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．提示：由于本题给出了数列{an}中连续两项的差，故可考虑用累加法求解．解：由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1．当n≥2时，以上n－1个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1

5、)＋(n－2)＋…＋1]，即an－a1＝－．又∵a1＝1，∴an＝×3n－－．显然a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝×3n－－．(五)迭乘法【应用5】已知在数列{an}中，a1＝，前n项和Sn与an的关系是Sn＝n(2n－1)an，求an．提示：此题已知Sn与an的关系，应想到使用Sn法，然后得到相邻两项比的等式满足an＝an－1f(n)这种模型，因此使用迭乘法求解．解：当n≥2时，由Sn＝n(2n－1)an，得Sn－1＝(n－1)(2n－3)·an－1，两式相减，得(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，∴＝．∴＝，…，＝．将上面n－1个等式相乘，得＝8＝，∴当n≥2时，an

6、＝．当n＝1时，a1＝满足上式，故对n∈N＋，有an＝．(六)辅助数列法【应用6】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式．提示：对于an＋1＝pan＋q这一类型的递推关系式，常用配常数法求通项公式．设an＋1＋k＝p(an＋k)，对比递推关系式，可得k＝，构造出等比数列{an＋k}．解：令an＋1＋k＝(an＋k)，∵an＋1＝an＋1，对比可得k＝－2，∴an＋1－2＝(an－2)．∴{an－2}是首项为a1－2＝－1，公比为的等比数列．∴an－2＝－1·n－1＝－n－1．∴an＝－n－1＋2．专题二　数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列，并熟悉了

7、有关等差数列和等比数列的求和公式，然而有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，像这样的数列如何求和呢？数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法．在求数列的前n项和Sn时，要掌握以下几种常用的方法：(一)并项转化求和法【应用1】求和：Sn＝12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002．提示：根据条件可知：前后两项相互结合，利用公式化简求值得出和．解：由平方差公式，得Sn＝(1－2)(1＋2)＋(