高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教a版选修4_4

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1、四 柱坐标系与球坐标系简介庖丁巧解牛知识·巧学一、柱坐标系定义:如图1-4-1,建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞

2、标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为要点提示柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.二、球坐标系定义:如图1-4-2,建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点,连结OP,记

3、OP

4、=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间就建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间

5、极坐标系,有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为图1-4-2要点提示在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角,90°-φ称为高低角.三、坐标系的建立41.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系;2.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系(如正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等),则可以利用图形的对称性建立

6、空间坐标系来解题;3.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标系.深化升华当描述点的位置只用长度来形容不够时,要考虑用角度来表示;如果用一个角度不够,就用两个角度来表示,来分别建立适当的空间坐标系.问题·探究问题1分析在柱坐标系,球坐标系和空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法,探讨有何异同?探究:它们都是三维的坐标,球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的.在直角坐标中,需要三个长度:(x,y,z),

7、而在球坐标与柱坐标中,既需要长度,也需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).空间直角坐标:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标.(如图1-4-3所示)图1-4-3坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z)

8、.这样,通过空间直角坐标系,就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,则y=z=0;如果M是原点,则x=y=z=0等.几种三维坐标互相不同,互相有联系,互相能够转化,它们都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.典题·热题例1如图1-4-4,请你说出点M的球坐标.图1-4-4思路分析:抓住球坐标定义.解:连结OM,记

9、OM

10、=R,OM与Oz轴正向所夹的角为θ,设M在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到O

11、Q时所转过的最小正角为φ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,θ,φ)表示.答案:M(R,θ,φ).误区警示字母与平时表示不一样,容易出错.4例2经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测,并通过数据汇总,计算出一个航天器在某一时刻的位置,离地面2384千米,地球半径为6371千米,此时经度为80°,纬度为75°.试建立适当的坐标系,确定出此时航天器点P的坐标.思路分析:在赤道平面上,选取地球球心为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立平面极坐标系,在此基础上,取以O为端点且经过北极的射线Oz(垂直于赤

12、道平面)为另一条极轴,如图1-4-5建立一个球坐标系.图1-4-5解:在赤道平面上,选取地球球心为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°,可知θ=80°,由航天器位于纬度75°,可知φ=90°-75°=15°,由航天器离地面2384千米,地球半径为6371千米,可知r=2384+6371=8

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