2、,θ,z)之间的变换公式为要点提示柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.二、球坐标系定义：如图1-4-2，建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，连结OP，记
3、OP
4、=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间就建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P
5、(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为图1-4-2要点提示在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角.三、坐标系的建立41.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系;2.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），则可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题;3.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直
6、的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系.深化升华当描述点的位置只用长度来形容不够时,要考虑用角度来表示;如果用一个角度不够,就用两个角度来表示,来分别建立适当的空间坐标系.问题·探究问题1分析在柱坐标系,球坐标系和空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法,探讨有何异同?探究:它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的.在直角坐标中，需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标与柱坐标中，既需要长度，也需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ,θ,z)或者(r,
7、φ,θ).空间直角坐标：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标.(如图1-4-3所示）图1-4-3坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z).这样，通过空间直角坐标系，就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上
8、的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0等.几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化,它们都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同.典题·热题例1如图1-4-4，请你说出点M的球坐标.图1-4-4思路分析：抓住球坐标定义.解:连结OM，记
9、OM
10、=R,OM与Oz轴正向所夹的角为θ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为φ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,θ,φ)表示.答案：M(R,θ,φ).误区警示字母与平时表示不一样,容易出错.4例2经过若干个固定和流动的
11、地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2384千米，地球半径为6371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标.思路分析：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O为端点且经过北极的射线Oz（垂直于赤道平面）为另一条极轴，如图1-4-5建立一个球坐标系.图1-4-5解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知
12、θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2384千米，地球半径为6371千米，可知r=2384+6371=8
