数学思想方法与数学教学

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1、数学思想方法与数学教学张立军吉林省伊通满族自治县西苇镇中心校130700摘要：数学思想是对数学事实与数学理论的木质认识，是数学处理问题的基木观点，是对数学基础知识与基木方法木质的概括，它高于知识和方法，指导知识与方法的运用，使知识向更深、更高层次发展。重视对数学思想方法的考查，把一些比较基木的数学思想和方法，以各种问题的层次融入试题之中，是高考命题多年来所坚持的方向。关键词：概念地位作用渗透现代数学教学观认为，应该着重发展学牛的思维，提高数学能力教育的核心在于全面提高学牛的素质，而这些任务的具体实现，在很大程度上都依赖于数学方法的教学。在初中数学教学大纲中，已

2、将数学思想方法的教学列入基础知识的范畴。要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素养，就必须使学牛了解数学知识形成的过程，明确其产牛、发展的外部与内部的驱动力。而在数学概念的确定、数学事实的发现、数学理论的推导以及数学知识的运用中，所凝聚的数学思想和方法乃是数学的精髓。那么，如何认识数学思想方法，以及怎样进行数学思想方法的训练，如何与教学结合在一起，是非常重要的。一、渗透函数与方程思想例如在讲一元一次方程的产生时，可以分两种情况：当x的一次二项式的系数有一个确定的值，如4x-l=5,而这个关于x的一次二项式的系数的值不断变化时，就产生了不同的一元一次方程，随之

3、各个方程的解也不相同。当两个关于字母x的一次二项式的值相等时，求字母x的值，也就产生了一元一次方程,如4x-4=5x+2o而一元一次不等式又是怎样产生的呢？当x的一次二项式的值大于（或小于）某一个数X,求x的取值范围，就产牛了一元一次不等式，如4x-l>5；或者关于字母的两个一次二项值的值具有不等关系式，也就产生了一元一次不等式，如4x-l>3x+lo这样，代数式、一元一次方程、一元一次不等式就有机地联系起来，构成了知识链，渗透了函数思想。同样，一元二次不等式、i元二次方程、一元二次函数也可以通过放到函数的思想下研究，解方程f(x)二0就是找函数图

4、像与x轴交点的横坐标，解不等式f(x)>O就是求函数f(x)的正负区间，从而使掌握的知识层次具有深度和广度。二、渗透转化化归的思想化归思想的实质是化未知为已知，使新知识向1口知识(已知的知识)转化的思想方法，具有普遍意义，掌握了它就能居高临下地指导思维活动的开展。特别是在解析几何的教学过程中，通常是以有关概念的定义、定式(公式、法则)和定法着手进行思考分析，而运用常规思路，会出现解题过程复杂其至难以处理的局面。例1.在椭圆+=1,求一点使它到左、右焦点的距离之比为了3：2。设P(xl,gl),把

5、PF2

6、转化为P到相应准线的距离dl,d2,则由椭圆定义有

7、

8、PFl

9、=edl=5+xl,

10、PF2

11、=ed2=5-xl。由

12、PF1

13、:

14、PF2

15、=3:2,求得点卩为(，±5)。在这个解题过程中，倾斜线段的长度，仅端点的横坐标或纵坐标就可确定，因此倾斜线段转化为水平(或竖直)线段，使问题变得简洁明了,省去了复杂的运算。又如在讲三角公式推导时，对公式C(α・β)推导以后，用它推导C(α-β)=C[α-(-β)],建立了sinx=cos(-x)后,就可以通过此公式推导。这些公式的推导，渗透了转化化归的思想。在这方面的例子是很多的，各章都有，这就需

16、要教师适时地渗透这些思想。三、分类思想，训练思维的目的性、条理性分类思想在数学中也很普遍，如代数中有数、式、方程、不等式、函数等内容的分类，几何中有图形的分类等。分类思想渗透到概念、定义、定理的证明、法则的推导和具体问题的总结，善于运用分类讨论的思想有助于对知识的加深认识和理解消化，从而掌握其本质规律。如在向量的教学过程中，平行向量可分为同向向量或反向向量，用向量法推导正弦定理吋可通过对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情形分别讨论而获得。又如在线段的定比分点的教学过程中，运用分类讨论的思想方法，启发学生对点P分有向线段P1P2的比值的分析讨论，可得以下几

17、个结论：(1)若点P在P1P2的反向延长线上，则λ>O；(2)若点P在P1P2的延长线上，则λ<-l；(3)若点P在P1P2的反向延长线上，贝ij-l<λ<O；(4)若点P与Pl重合，贝iJλ=O；(5)若点P与P2重合则λ不存在。由上述5个方面可知λ≠-l,通过分类讨论可以使学生理解得更深刻。四、渗透数形结合的思想数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自特点。数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联

18、系转化来研究数学对象和解决数学问题。如