无穷小与无穷大

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1、第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.证二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，证三、无穷小与无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小的讨论.第五节极限运算法则一、极限运算法则二、例题1、无穷小的运算性质:定理1在同一过程中,

2、有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证一、极限运算法则注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。定理3证由无穷小运算法则,得2.极限的四则运算推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，意义：3.复合函数的极限运算法则二、例题例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母

3、中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解左右极限存在且相等,例7解思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．