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1、非线性方程数值解法及其应用扌商要：数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Ne毗on迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。关键字：非线性方程；二分法；Steffensen加速收敛法；代数Ne毗on法；弦裁法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越來越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮
2、船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程f(x)二0的根。方程f(x)二0的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知:若f(x)在闭区间［a,b］上连续,Kf(a)・f(b)<0,则f(x)=0在开区间(a,b)内至少有一个实根。这时称［a,b］为方程f(x)=0的根的存在区
3、'可。本文主要是对/(x)=2x3+2x2-5在区间［1.2］的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题屮遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区
4、间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。设函数f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)・f(b)<0,贝IJ［a,b］是方程f(x)=0的根的存在区间，设其内有一实根，记为取区间［a,b］的中点无=丄(d+b),并计算/(%.),则必有下列三种情况之一成立：⑴/(%,)=0,X］就是方程的根兀”；⑵f(a)•f(XjXO,方程的根X*位于区间［a,"J之中，此时令吗=。，；(3)f(x,)・f(b)<0,方程的根F位于区间［州，b］之屮，此时令在（2）、（3）两种情况下，取花=丄（4+
5、勺），并计算/（x2）,重复上述过程，就可逐次把区2间缩短一半，且始终包含根根F。当经过k次二分后，根F所在的区I'可［代,以］的长度为.b-abk-ak若取有根区间的中点忑+1二丄（％+乞）开作为根的近似值，则在二分过程中，可以获得一个近似根序列｛林+J,该序列必以根F为极限。在实际计算时，不可能完成这种无穷过程，其实也没有这种必要。市于*/仇-akb-aaa+ia—22知］所以，只要二分足够次（即k足够大），便有
6、耳+厂打＜£。这里£为事先给定的精度，再注意到k+
7、-打5如尹，所以，在实际计算时，只要某个有限区间的长度小于£,就可以停止计算，并取该有限区间的中
8、点作为根F的近似值。二分法的优点是算法简单及近似根序列一定收敛，缺点是收敛速度比较慢。2、Steffensen加速收敛法如图所示，由y"=0（£）,z“=0（儿）可得P（x”，y“），Q（y〃，z”）两点，连接PQ眩有方程：令y二x,可得心（£+"”+］）点，有解式：*=£+］=£-一冷一一z”_2x,+£3、代数Newton法f（x）=aQxn+axxn~x+—an=0（a。H0）设n次代数方程用Newton迭代法求有限区间的实根，则要计算，一般采用秦九韶算法。由Taylor展式/（兀）=/（£）+（兀一兀Jf（£）+（*一£匸'；）+・・・+（兀-xj厂¥）二
9、/（£）+（—xJQ（x）（1）n帝毀表示，用&-坨＞去除/'⑴‘得商四?-1次多项式QS）兪或为伏耳））t（x-x”）'+...+O-x”）"Tff"）（2）由⑵式知，0（£）=八£）,且/（£）为（工-£滁以0（兀）的余式，令0（兀）=+b{xn^~-b”_i（3）（3）式代入⑴式得/(兀)=/(£)+(兀-£)[加"'+brxn2+•••+bn_{]=aoxn+axxn~l比较等式两边x的同次幕系数得5=a°10、3卜cn_2(4)(4)式代入⑶式得Q⑴=fxn)+(x-xn)[c0xn~2+cxxn~3+…+c“_2]=i+byxtl2+...+bfJ_?x+bn_]比较x的同次幕系数得：C°=b°11、牛顿迭代公
