扩散方程的数值解法及其应用

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1、2009年3月6日第4章扩散方程的数值解法及其应用1§4.1一维导热问题一、一维导热问题的通用控制方程坐标系空间变量x面积因子A(x)直角x1圆柱rr球rr22一、一维导热问题的通用控制方程（续）3二、用控制容积积分法导出离散形式假设：（源项线性化）4二、用控制容积积分法导出离散形式（续）分段线性插值（中心差分）5三、界面上当量导热系数的确定方法根据界面上热流密度连续的原则：根据界面上当量导热系数的含义：调和平均法：6三、界面上当量导热系数的确定方法（续）算术平均法：调和平均法优于算术平均法。导热系数发生阶跃变化时的处理方法：(1)把

2、阶跃面作为控制容积的分界面。(2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）7四、一维非稳态导热方程及其离散化采用全隐格式离散：8四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）令：得：其中：9§4.2多维非稳态导热问题的全隐格式一、三种正交坐标系中的全隐离散方程(1)直角坐标系非稳态项：10一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）源项：扩散项：11一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）整理得：其中：12一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(2)圆柱轴对称坐标系13一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(3)极坐标系14二、三种坐标系中全

3、隐格式的通用离散形式三种坐标系的区别：x-yx-rq-r东西坐标xxq引入尺度系数SX南北坐标yrr引入名义半径R通用离散形式：15二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）16二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）17§4.3源项及边界条件的处理一、非常数源项的线性化处理说明：1、当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定为常数更合理。2、线性化处理是建立代数方程所必须的。3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP<0。4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。18一、非常数源项的线性化处理（续）-举例19二、边界条

4、件的处理1、补充边界节点代数方程的方法第2类BC：内节点法Dx=0，得第3类BC：得：由控制容积平衡法导出离散方程物理意义明确。对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。20二、边界条件的处理（续）21二、边界条件的处理（续）2、附加源项法P点的通用方程：22二、边界条件的处理（续）第3类BC：23二、边界条件的处理（续）附加源项法的实施步骤：(1)计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC，SP中去。(2)令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。(3)按常规

5、方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。(4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知的边界温度。24二、边界条件的处理（续）3、两种处理方法的比较附加源项法优于补充节点方程法(1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。(2)可以缩小计算区域。(3)节省计算时间。25§4.4求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式算法一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法将：消元与回代写成：目的：26一、三对角阵算法（续）先求P1，Q1：27一、三对角阵算法（续）第1类边界条件下TDMA实施i=

6、1：由于T1已知，应取P1=0，Q1=T1依此可以求得P、QTM1已知求解步骤：(1)消元过程从i=2开始，取P1=0，Q1=T1(2)回代过程从i=M2开始，28一、三对角阵算法（续）0029二、交替方向隐式算法Peaceman-RachfordADI格式非稳态问题交替方向隐式算法(Implicit)与ADI稳态非线性问题交替方向迭代法(Iteration)在本质上是一致的。30