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1、1如图所示，正方体ABCD—ABCD中,侧面对角线AB,BG上分别有两点E,F,且B.E-C.F.求证：EF〃平面ABCD.证明方法一分别过E,F作EM丄AB于M,FN丄BC于N,连接MN.•・・BBi丄平面ABCD,ABB.1AB,BB］丄BC,・・・EM〃BB,FN〃BB”・・・EM〃FN.又TBiE二CF,・・・EM二FN,故四边形MNFE是平行四边形，・・・EF〃MN・又MNu平面ABCD,EFa平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.方法二过E作EG〃AB交BBi于G,连接GF,则墮=墮,•・・BEF,BiA二GB,^c1e=b1G9.・・FG〃BG
2、〃BC,C
3、BB、B又EGAFG^G,ABQBOB,•••平面EFG〃平面ABCD,而EFu平面EFG,・・・EF〃平面ABCD.2已知P为AABC所在平面外一点,G】、G2、G3分别是APAB>APCB>APAC的重心.(1)求证：平面GGG〃平面ABC；(2)求•SaABC.(1)证明如图所示，连接PG］、PG?、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F,连接DE、EF、FD,则有PG】:PD二2:3,PG2：PE二2：3,・・・GG〃DE.又GG不在平面ABC内，•••GG〃平面ABC.同理GG〃平面ABC.又因为GGnG2G3二G2,••
4、•平面G1G2G3〃平面ABC.(2)解由(1)知竺二些二Z,・・・GG=2DE.PDPE33又DE二丄AC,...GG二丄AC.23同理G2G3=1AB,GG汙丄BC・33•••△GGGaZXCAB,其相似比为1:3,••SaGiG2G)•SaABC-1•9•3如图所示，C知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA二SB二SC,SG为ASAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG〃平面DEF,证明如下：-TC方法一连接CG交DE于点H,如图所示.•••DE是ZABC的中位线,・・・DE〃AB
5、.在AACG中，D是AC的中点,且DH〃AG.・・・H为CG的中点.・・・FH是ZSSCG的中位线，AFH//SG・又SGu平面DEF,FHu平面DEF,•••SG〃平面DEF.方法二VEF为ZkSBC的中位线…・・EF〃SB.VEFa平面SAB,SBu平面SAB,•••EF〃平面SAB.同理可证，DF〃平面SAB,EFQDF二F,・•・平面SAB〃平面DEF,又SGu平面SAB,•••SG〃平面DEF.5如图所示，在正方体ABCD—AiBGD］中,E、F、G、H分别是BC、CG、CD、AiA的中点•求证：(1)BF〃HDi；(1)EG〃平面BBDD；(2)
6、平面BDF〃平面BiDiH.证明(1)如图所示，取BB］的中点M,易证四边形HMCD是平行四边形…・・HD］〃MG.又・.・MC］〃BF,•••BF〃HD］・(2)取BD的中点0,连接E0,DQ,则'X丄DC,2又M1DC,Y.0ED62・・・四边形0EGD］是平行四边形，•••GE〃DQ.又DQu平面BBQD,・・・EG〃平面BBQD.(3)由(1)知D.H/7BF,又BD/7B.D.,BD、HD＜平面HB.D.,BF、BDu平面BDF,且BDQHD尸D”DBQBF二B,・•・平面BDF〃平面BQH.6如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面
7、，若截面为平行四边形.(1)求证：AB〃平面EFGH,CD〃平面EFGH.(2)若AB二4,CD二6,求四边形EFGH周长的取值范圉・(1)证明•••四边形EFGH为平行四边形，・・・EF〃HG.VHGc平面ABD,・・・EF〃平面ABD.・・•EFu平面ABC,平面ABDQ平面ABC二AB,・・・EF〃AB.・・・AB〃平面EFGH.同理可证，CD〃平面EFGH.(2)解设EF二x(0VxV4),由于四边形EFGH为平行四边形，・CFx••=—•CB4hidFG—BF—BC-CF二］—兰'6BCBC4*从而FG二6-丄兀.2•••四边形EFGH的周长I二2
8、(x+6-9)二12-x.2又0VxV4,则有8<1<12,・•・四边形EFGH周长的取值范甬是(8,12)・7如图所示，在正方体ABCD—A.B.C.D.中，0为底面ABCD的中心，P是DP的中点，设Q是CC】上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D】BQ〃平面PAO?»当Q为CC】的中点时，平面DiBQ〃平面PAO.•••Q为CG的中点，P为DD】的中点,・・・QB〃PA・TP、0为DDi、DB的中点，・・・DiB〃PO.又POnPA^P,D】BQQB=B,DiB〃平面PAO,QB〃平面PAO,・・・平面DiBQ〃平面PAO.4D8正方形ABCD与正方形A
9、BEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、
