线性离散系统的分析

《线性离散系统的分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、§10-4线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。有两大类的稳定性分析方法。一类是分析离散系统极点在Z平面内的位置。一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在Z平面内以原点为圆心的单位圆内。当然，我们可以用直接的方法求出特征方程,然后再求出其根（例如用贝尔斯特■牛顿叠代法）。但是在工程上希望不经过解特征

2、方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把Z平而问题变成冷平而的问题，再用连续系统的稳定判据。另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫笫二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。本节只介绍代数判据法。如杲C知一个系统的特征(10.87)Routh>Schur、Cohn和Jury都研究过相类似的稳定判据。多项式A（z）=aozn+a1zM_,+・・・+a“Jury把它的系数排列成如下的算表：血a•…％afln-1%一1一心其屮表屮笫一行和笫二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。这两行的最后两个元素相除而得到=o第

3、一行的各元素分别减去第二行的相应元素乘以Q”，这就得a2i-al少(1一。2)到第三行的各元素。显然，第三行的最后一个元素为零，即第三行比前两行少一个元素。第四行的元素是第三行的元素反过來排列的。这样一直做下去，直到第2〃+1行，即此行只剩下一个元素为止。于是有Jury稳定性判据如果tz0>0,方程(10.87)的根全在单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的笫一个元素都是正数。如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表(10.87)中含有在单位圆以外根的个数。［例10-17］已知特征方程为°A(z)=z+a}z+a2=0写出Jury算表为a}a2a】1。](1一

4、。2)l-al如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足1—>0；~[(1+勺尸一]>01+a2<1—1+Cl>—1—%系数色和⑷使此二阶系统稳定的区间如图10-17所示。二、能控性在现代控制理论中有两个基本的概念，一个是讨论是否有可能把一个系统从任何初始状态控制到任何其它状态；另一个是讨论通过测量动力学系统的输入和输出能否确定英状态。这就是卡尔曼在I960年提出的能控性和能观性的概念。1.定义我们现在来讨论线性定常系统(10.88)X伙+1)=OX伙)伙)Y閃=CX伙)的能控性问题。对此系统，如能找到控制序列t/(0)Q(l),…，把系统(10&)从任意初始状态X

5、(),在有限时间内控制到0,则此系统是能控的。对系统(10.88),如能找到控制序列t/(O)Q(l),•…，把系统从任意初始状态X。，在有限时间内控制到任一状态X"则此系统是能达的或完全能控的。能控并不意味着就能达。这一点是很容易理解的，因为如果有①"X(0)=0,则此系统即使不加控制，在川步内也能达到零状态。此系统是能控的，但不一定能达。对线性定常系统来说，如①是可逆的，能控与能达是等价的。2.能控性定理定理：系统(10.88)的能控性矩阵为(10.89)(10.90)叱=[「d)r…r](10.88)的状态完全能控的充分必要条件是矩阵叱、的秩等于斤，即rankWc

6、=n这个定理的证明是很容易的。由(10.88),有=nx(o)+a>^r(7(o)+・•・+

7、是任一要求达到的状态，则要由下列方程求出（/wcu=xi-^x（）它的解存在的条件是忆的秩为,2。但要注意如果控制作用不是单输出情形，这解将不是唯一的。这里要对能控性定理作简要的讨论：1）如果rankWc

8、且再增加儿步也不能控制到例如再增加一步控制，则能控性阵的秩仍小于n,B

9、Jrankr…①心厂