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1、考虑轴向力影响欧拉梁动力反应分析一.前吞在前面的学习过程中，我们学习了多自由度离散体系的任意结构动力反应分析，但是对实际结构来说，本质上都是具有分布质量的弹性体，即分布参数体系。要描述这些弹性体系任意瞬时的空间位置，严格上说需要无限多个广义坐标，这样的体系称为无限自由度体系。要严格描述无限自由度体系的振动，需要建立位移关于空间位置坐标和时间两个独立变量的连续函数，因此，描述无限自由度体系的运动方程为偏微分方程。连续结构体系可按描绘它们动力行为分布所需的独立变量数来分类。但本文讨论的梁结构或轴向变形的杆，属于一维结构，它们的物理性质和动力反应
2、可用单独一个坐标，于是这种体系的偏微分方程只包含两个独立变量，即时间和沿轴的距离。二、考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程已知：一非均匀简支梁，沿梁长度X方向变化的抗弯刚度EI(x),单位长度的质量m(x),作用在梁上的横向荷载p(x,t),作用在梁端不随I］寸间变化的轴向力N以及梁的横向位移u(x,t)o求：弯曲梁的弯曲振动方程。步骤：1、假定梁的运动为平面弯曲，并假定变形前梁的横截面在变形后仍保持为平面，口垂直于变形后的梁轴线，即符合弯曲的平截面假定。2、取梁上任一截面x处的微段dx为隔离体。作用在其两截面上有弯矩M,剪力Q,分布外荷载P(
3、x,t)和假定的惯性力P&9dx3、由竖向力平衡条件，得第一个平衡方程：Q-［P(x,/)—m(x)^}dx—(Q+-^dx)=0(1)drdx整理得：器=-P(x.t)+(2)dx9r4、由力矩平衡条件，对微段右截面和x轴的交点取矩，得到第二个平衡方程M+Qdx+N°"E）一-［P（x,/）—加（Q°号卩］（必）2一（M+挈必）=0（3）dt2。厂dx整理得：^=Q+N°；(也(4)dxdt将(2)代入(4)得勢二_3)+皿)^12+⑸dx29r3r根据梁的初等变形理论，梁的弯矩和曲率的关系式为：JI/T177/dll(^X91)(匚
4、M=-E/(x)———(6)ox^将(6)代入(5)得：g)A：(y)+肿［字+壬［曰(护：(矜=p(x,r)(7)3rdjrdx^dx^上式即为考虑轴向力影响的梁的弯曲振动方程。，/呼+仲沖)dx2三、梁的自振频率和振型分析轴向力影响欧拉梁的固有振动特性，这里仅讨论等截面直梁的情况。这时，梁的自由振动运动方程为式(8)的齐次方程，即：m—71—+N——+El――—=0(9)d广dxdx用表示对位置x的导数，用“•”表示对时间t的导数，则(9)式可写成mu+MT+EW=O(10)用分离变量法求解，假定解得形式为讥兀,/)=0(兀)曲)(11
5、)式屮，0(兀)表示振动的形状，它不随时间而变化，q⑴表示随时间变化的振幅。将式(11)代入(10),得到：••mq(t)0(兀)+N0'(x)q(t)+£70八'(x)^(r)=0(12)公式两端同时除以0(兀)g(/)得：0(兀)q(r)式中C=mco2由此得到两个独立的常微分方程：N0©)+E0”(x)-咖钿=o(14)亦)+Q?q(f)=0(15)方程(15)是单自由度体系无阻尼自由振动方程，其解为q(f)=A]sincot+B、cosa)t(16)式中的系数可以根据初始位移q(0)和初始速度j(0)确定，即■q(t)=sincot
6、+g(0)cosM(17)co方程(14)是四阶微分方程，设其解得形式为0(兀)=Cesx(18)(19)式中/耳2,3.4=±砂±£g22(21)将式（18）代入式（14）,得orm2N~eT's~~EI解得将（20）代入（18）式，并用三角函数和双曲函数等式代替指数函数得0(x)=Asin&+Bcos8x+Csinh£¥4-Dcoshex(22)式中四个常数A〜D决定梁振动的形状和振幅，它们可以利用梁端的边界条件确定。对于每一个可能指定的轴向力值，方程（22）给出了相应梁的振动形式。四、振型的正交性根据功的互等定理，第n阶振型的惯性力在
7、第m阶振型位移上所做的功等于第m阶振型的惯性力在第n阶振型位移上所作的功。用数学表达式可表示为：LLJ%q（xj）dx=（x）//wj（x,t）dx（23）00当梁以某种振型振动时，其各点的位移可表示为：如(兀,0=0”(x)q“sin。」(24)%(□)=叽(叽sincomt(25)由振型引起的相应的分布惯性力为城（兀,t）dt2=m(x)a)^n(x)qnsina)ntCm)dr=fn(x)a)^m(x)qmsin%(26)•(27)将以上四式的幅值代入式（23）得f血（兀）4"（兀）愆如Mqndx=J叽（兀）么加（兀）此血｛x）qmd
8、x（28）00即L(0；-0；)J叭(X)加(x)0“Mdx=0(29)0对于一般工程结构，orn工此，则有L(30)J血(x)加(x)血(x)dfx0这就是分布参数简支梁关于分
