弹性直杆向螺旋杆折叠过程的力学分析.doc

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1、弹性直杆向螺旋杆折叠过程的力学分析*基金项目：国家自然科学基金(No.10472067)刘延柱1　　　薛纭2(上海交通大学上海　200030)1(上海应用技术学院上海　200233)2摘要本文讨论受圆柱面单面约束的Kirchhoff弹性杆的大变形，作为大型空间结构元件折叠过程的简化模型。分析从直杆变形为螺旋杆，最终压缩为叠放平面圆环的变形过程。由于约束分布力的存在，不能直接引用Kirchhoff理论的分析结果。文中建立以描述截面姿态的欧拉角为变量的受约束弹性杆的平衡方程。导出方程的初积分以计算杆截面的内力和力矩。螺旋线状态作为杆的特

2、殊平衡状态，计算为实现折叠过程需要施加的轴向压力和扭矩随螺旋角的变化规律。一次近似稳定性理论的分析表明，相对扭率为零的螺旋杆不能保证平衡稳定性。对于杆端支承允许存在相对扭率情形，提出轴向压力和扭矩的变化规律以保证折叠过程的稳定性。关键词空间伸展臂，弹性细杆，圆柱面约束，Kirchhoff理论中图分类号：0317，0343文献标识码：A1.引言可盘绕折叠的空间伸展臂是大型空间结构的基础构件，其折叠和伸展过程涉及弹性杆的大变形问题。文献中关于空间伸展臂的理论分析多沿用平面弯曲的近似微分方程，且分析中未能考虑筒壁约束的存在，所得结果有极大

3、的近似性。Kirchhoff动力学比拟理论是研究细长弹性杆超大变形的有效工具，近年来由于在分子生物学中的应用而引起广泛注意。关于受圆柱面约束的弹性杆平衡问题在国内外均已有多篇文献发表，如Seemann[7]，vanderHeijden[8,9]，及本文作者的工作。由于约束分布力的存在，受圆柱面约束的弹性杆不能直接引用Kirchhoff理论的分析结果。空间伸展臂由三根纵杆和多个框架横杆构成，在上下圆盘的轴向力和扭矩作用下，直立的纵杆以螺旋杆形态压缩变形收藏在圆筒内。作为此折叠过程的简化模型，本文忽略附属框架横杆的影响，讨论作为伸展臂支

4、柱的纵杆的大变形过程。设杆为圆截面，满足不可伸长、无弯曲剪切变形、无原始曲率和原始扭率、均匀、线弹性等Kirchhoff假设条件[1]。上下端部以圆柱铰与刚性圆盘的边缘铰接，可在圆柱面的切平面内自由转动。下盘固定，上盘在扭矩和轴向压力作用下边绕对称轴转动边向下移动，使杆从原始的直杆变形为螺距不断缩小的螺旋杆，最终压缩为叠放的平面圆环。设杆的折叠过程足够缓慢，其动力学效应予以忽略。基于杆的静力学平衡方程，分析为实现此过程需要施加的轴向压力和扭矩，杆与筒壁的接触条件，以及折叠过程中的平衡稳定性。讨论为满足稳定性条件必须采取的技术措施。2

5、.受圆柱面约束的弹性杆平衡方程及初积分设圆截面弹性杆的半径为长度为，受半径为圆柱面的内侧约束。以圆柱面中心轴为轴，轴上固定点O为原点，建立固定参考坐标系。令绕轴转过角的位置为，使坐标面与杆中心线上的任意点P重合，X轴和Y轴分别沿P点处的径向和周向，Z轴与轴重合。P点与轴的距离为常值，其在中的位置用柱坐标表示。令绕轴转过角后的位置为(P-x0y0z0)，绕x0轴转过角后的位置为(P-x1y1z1)使z1轴沿杆中心线的切线，(y1Pz1)坐标面为P点处圆柱面的切平面(见图1)。(P-x1y1z1)与之间的方向余弦如表1所示,各坐标轴的基

6、矢量记作。由于圆截面的对称性，(P-x1y1z1)为截面的主轴坐标系。(P-x1y1z1)继续绕切线轴z1转过角后的位置为与杆截面固定的主轴坐标系(P-xyz)。为确定截面姿态的欧拉角。沿杆的中心线建立弧坐标s，欧拉角与之间应满足以下约束条件：(1)对介于弧坐标为s和的截面之间的微元体建立力和力矩平衡方程，得到，(2)图1受圆柱面约束的弹性杆x1y1z1X－100Y0Z0表1方向余弦其中为截面作用力的主矢和相对截面几何中心P的主矩，为单位长度约束力。在理想约束条件下，沿圆柱面的内法线，即x1轴方向，写作(3)以(P-x1y1z1)为

7、动参考系，将方程组(2)写作(4a)(4b)其中为(P-x1y1z1)的无限小角位移矢量相对弧坐标的变化率，可利用表1写出其投影式：(5)设相对(P-x1y1z1)的投影为，将式(3),(5)代入方程(4a)，导出(6a)(6b)(6c)刚性截面的弯扭度，即无限小角位移矢量相对弧坐标的变化率记作，其相对(P-x1y1z1)的投影的欧拉角表达式为(7)设截面绕x轴和y轴的抗弯刚度均为，绕z轴的抗扭刚度为，则截面作用力的主矩可用弯扭度表示为(8)将式(5),(7),(8)代入方程(4b),写出其投影式。其中沿z轴的投影式存在以下初积分：

8、(9)即杆的扭率保持常值。方程(4b)相对x1轴和y1轴的投影式为(10a)(10b)设为在各轴上的投影：(11)令式(6b),(6c)分别乘以后相加，积分得出(12)令式(6b),(6c)分别乘以，相减后解出代入式(10b)，导出另