弹性压杆的大变形分析_李银山

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1、第40卷第5期河北工业大学学报2011年10月Vol.40No.5JOURNALOFHEBEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYOctober2011文章编号：1007-2373(2011)05-0031-05弹性压杆的大变形分析李银山，刘波，潘文波，侯书军（河北工业大学机械工程学院，天津300130）摘要建立了弹性压杆大变形的数学模型，采用Maple编程求解了该数学模型，并对细长柔韧压杆弹性失稳后挠曲线形状进行了计算机仿真．分析计算了失稳后屈曲的力学特征，给出了解析表达式；分析计算了失稳后屈曲的平衡状态曲线的几何特征

2、，给出了计算机仿真曲线．关键词细长弹性杆；大变形；分岔；Maple中图分类号O343.9文献标志码AAnalysisoflargedeflectionofflexiblecompressionbarsLIYin-shan，LIUBo，PANWen-bo，HOUShu-jun(SchoolofMechanicalEngineering,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300130,China)AbstractAmathematicalmodelforlargedeflectionofflexi

3、blebarsisfoundedandthensolvedviaMapleprogramming.Theshapeofthedeflectioncurveoftheslenderflexiblebarafterbucklingisgiventhroughcomputersimulation.Mech-anicalcharacterofinstabilityafterbucklingisthenanalyzedandcomputedforitsanalyticalexpression;meanwhile,thecurve'sgeo

4、metryinequilibriumcaseafterbucklingisalsoanalyzedandcomputedforitssimulatedcurve.Keywordsslenderflexiblebar;largedeflection;bifurcation;Maple弹性细杆的平衡和稳定性问题起源于1730年DanielBernoulli和Euler的工作．弹性细杆的平衡和稳定性问题有着广泛的应用背景，如海底电缆和钻杆．由于在分子生物学中将弹性杆作为DNA等生物大分子链的[1-2]力学模型，这一经典力学问题在近30

5、年内又重新引起注意．2010年全国大学生数学建模邀请赛赛题，实质上就是一个细长弹性压杆大变形问题．本文采用Maple对该问题给出了详细解答和计算机仿真．问题：对于某一均匀圆柱形细长弹性棒长为，在棒的两端施加方向相反大小相等（等于）的轴向压力．实验表明，当且仅当大于某力1时，棒才会发生弯曲．这个力1称为临界力．而当=221时，棒的平衡状态如示意图1所示：棒的两个端点重合（假设棒仍处在弹性限度之内）．试建立数学模型来验证实验的结果．并且完成以下任务：I）计算力学特征(i)临界力1的表达式；(ii)2/1的精确的理论比值．II)计算=

6、2时，棒的平衡状态曲线的几何特征(i)宽度与棒长之比/；(ii)高度与棒长之比/；(iii)端点重合处的夹角(单位：°)．1弹性压杆大变形的力学特征分析以一端固定并在自由端作用集中力的压杆为例（图2），当超过临界压力时，杆件将发生大挠度弯曲变形．由弯曲图1两端弹性杆受压变形成封闭曲线111dFig.1Acloseddeflectioncurveofacompressed理论知，曲率=，曲率的精确表达式是=，式dflexiblebarinfree-freecase收稿日期：2011-04-18基金项目：国家自然科学基金（10872

7、063）作者简介：李银山（1961-），男（汉族），教授．32河北工业大学学报第40卷中：为沿挠曲线从原点算起的曲线长度；为挠曲线切线与轴的夹角．负号是因为在图2所示情况下，随的增加而减小．mn截面上的弯矩则为=，因此杆的平衡方程为d(1)+=0d2d引用记号=，将式(1)等号两边对取导数，由于=sin，得d挠曲轴控制方程2d2(2)2+sin=0d压杆在自由端的边界条件d(3a)

8、=0=,d=0=0图2一端固定一端自由的理想弹性在固定端的边界条件压杆的大变形示意图Fig.2Aschematicdiagramoflargedef

9、lection

10、==0,

11、==,

12、==(3b)ofanidealcompressedflexiblebarinfixed-freecase积分式(2)求得压杆的长度为1d(4)=2022sinsin22为了简化上列积分，引进记号=sin，并引入新变量，使2(5)