5.1 平面向量的概念及线性运算.doc

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1、5.1平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足

2、a+b

3、=

4、ab

5、，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案　A3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)．A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0解析　如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，∴＋＝0.答案　B4．已知向

6、量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为(　　)A．－3B．2C．4D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案D5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴∥，又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案　C6．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　)．A．2B．

7、3C．4D．5解析　∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心，∴＋＝3，∴m＝3.答案　B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)，即＝2，于是＝2.答案：29．给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同

8、起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析　①中，∵向量与为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案

9、　310.已知向量夹角为，且；则.解析答案11．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ，∴λ＝，∴＝.答案12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

10、－

11、＝

12、＋－2

13、，则△ABC的形状为________．解析　(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

14、＋

15、＝

16、－

17、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三

18、、解答题13．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.解析　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，＝(a＋b)，＝(a＋b)．14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解析　设a－tb＝λ(λ∈R)，化简整理得a＋b＝0，∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有∴故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量、、

19、、、；(2)求证：B、E、F三点共线．解析：(1)延长AD到G，使＝，连结BG、CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝，所以B、E、F三点共线．16．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，∴＝m＋n