毕业论文--矩阵初等变换在高等代数中的应用

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1、矩阵初等变换在高等代数中的应用摘要:本文介绍了矩阵初等变换在高等代数的一些应用，其中基础应用有求矩阵的秩，求矩阵的逆矩阵，求向量组的极大无关组，证明向量组等价，判断向量组的线性相关性，解矩阵方程和化二次型为标准型等.另外，本文的着重点是介绍矩阵初等变换在分块矩阵，线性空间，多项式问题中的应用，并用具体例子说明矩阵初等变换在以上应用中是如何应用的.关键词:初等变换分块矩阵线性空间多项式ApplicationofMatrixElementaryTransformationintheAdvancedAlgebr

2、aAbstract:Thispaperintroducedsomeapplicationsofmatrixelementarytransformationinadvancedalgebra,suchasfoundtherankofmatrix,calculatedmatrixinverse，obtainedthemaximumirrelevantgroupofvectorgroup,proofedequivalenceofvectorgroup，determinedthelinearcorrelation

3、ofvectorgroup,solvedthematrixequationandtransformedquadraticformintocanonicalform,inaddition，thispapermainlyintroducedtheapplicationsofmatrixelementarytransformationintheproblemsofblockmatrix,linearspaceandpolynomial,andusedconcreteexamplestoillustratemat

4、rixelementarytransformationwashowtoapplyintheaboveapplication.Keywords:Elementarytransformation;blockmatrix;linearspace;polynomial目录弓1W1第1章矩阵初等变换的基本概念及性质11.1矩阵初等变换的基木概念21.2矩阵初等变换的性质3第2章矩阵初等变换的基础应用42.1求矩阵的秩42.2求矩阵的逆矩阵42.3判定向量组的线性相关性和求它的极大线性无关组62.4证日月量组等价72

5、.5解矩阵方程82.6化二次型为标准形10第3章矩阵初等变换的其它应用113.1分块矩阵初等变换在分块矩阵问题中的砬用113.2矩阵初等变换在线性空间问题中的应用173.2.1求向量空间中向量在一组基下的坐标173.2.2求从一组基到另一组基的过渡矩阵173.2.3求一组向量生成的子空间的基与维数183.2.4求两个子空间的和与交的维数193.3矩阵初等变换在多项式问题中的应用203.3.1求多项式的最大公因式203.3.2矩阵的初等变换与商和余式23全吉i仑26i射27参考文献28引言矩阵初等变换在矩阵

6、的应用中起着重耍的作用.矩阵初等变换不只是在矩阵问题上得到应用，而且它也可以解决线性空间的一些问题和多项式的一些问题，可以避免计算过程繁琐的问题.由于用矩阵初等变换解答问题，可以使解答问题过程简单化，所以它也是研究高等代数中某些问题的一个必不可少的工具.对于矩阵初等变换的基木理论问题的研宄己经较为成熟，很多数学学者在矩阵初等变换的应用这方面知识也进行了深入的研宄，并得出了很多有价值的结论：文献［1］_［4］对于矩阵初等变换已有十分准确的定义，而且完整的概括出矩阵初等变换的所有性质；陈现平求可逆矩阵的逆矩阵

7、的思路是利用矩阵初等变换法，这个方法和伴随矩阵法形成Y—个对比,给出具体求逆矩阵的例子后，用这两个方法进行解答,可以发现用矩阵初等变换求逆更简单;朱小红给出了几种向量组线性相关性命题的证法，其中也包括矩阵初等变换法;宋利梅化二次型为标准形的解答方法是用矩阵初等变换;求多项式的最大公因式、商和余式，不是只能用辗转相除法，也可以用矩阵初等变换法，当多项式的次数较高时，可以明显的看出用矩阵初等变换法比用辗转相除法简单，文献［18］和［19］已经给出丫用矩阵初等变换求多项式的最大公因式、商和余式具体的理论知识和应

8、用.木文所参考的文献和这些学者的研究为木文所介绍的内容奠定了重要的基础，对以后拓展这方面的知识有着重要的意义，本文在已有理论的基础上对矩阵初等变换在高等代数中的若干应用进行了一些讨论和归纳，希望能够给以后有关这方而的学习带来帮助.第1章矩阵初等变换的基本概念及性质以下所讨论的矩阵和向量都在数域P上，£表示单位矩阵.1.1矩阵初等变换的基本概念定义1.I111矩阵的初等行（列）变换为下列三种变换：（1）交换矩阵的两行（列）的位置