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1、初中数学竞赛专题选讲（初三.15）“或者”与“并且”一、内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的.例如：①正整数a是3或5的倍数，那么a=3,5,6,9,10,12,15……；如果正整数b是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，…….在正整数中，设3的倍数的集合为P，5的倍数集合为Q，那么：a是P和Q两个集合中的所有元素，而b是这两个集合中的公共元素.②是方程x+y=1的一个解.这里的大括号表示“并且”即当x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立.等价于x=2并且y=－1.
2、记作x=2并且y=－1.x=2,x=－2是方程x2－4=0的两个解.即当x=2或者x=－2时，等式x2－4=0成立.x=2或x=－2可记作x=±2. 即x=±2x=2或x=－2.2.用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.①.x≥4x>4或x=4.②.－4－4且x<4③.x≠2x<2或x<2④.x≠±2x≠2且x≠－2x<－2或－22(实数x记在数轴上)如图：－2023.判断带有“或者”词义的命题的真假：第一种，命题结论带有“或者”的.例如：⑤命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是
3、真命题.因为“3大于2”，“3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题.⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于：若a=0,则a2>0或a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.第二种，命题的题设出现“或者”的.例如⑦命题“如果a≥0，则a2=0”.读作如果a=0或a>0,则a2=0.它是假命题因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的.这个命题等价于：若a=0,则a2=0且若a>0，则a2=0.两个命题要同时成立才是真命题.⑧方程和方程组的解：方程(x－
4、a)(x－b)=0，同解于x－a=0或者x－b=0.方程组同解于x－a=0并且x－b=0.⑨不等式和不等式组的解集：不等式组等价于x+a>0并且x+b>0.不等式(x+a)(x+b)>0等价于或者二、例题例1.写出下列命题的等价命题：①实数a,b,c都不为零；②实数a,b,c不都为零；③x=±3且y＝±2；④解：①.a,b,c都不为零.a≠0且b≠0且c≠0.abc≠0.②.a,b,c不都为零a,b,c中至少有一个不为零.a≠0或b≠0或c≠0.不是a,b,c都等于零.a2+b2+c2≠0.③.x=±3且y＝
5、±2或或或④.或例2.解方程组解：由x2=4，得x=±2.把x=±2.代入4＋y2=6，得y=±. ∴原方程组的解是即原方程组有四个解：例3.已知：a,b,c是△ABC的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系： ① （a－b）(b－c)=0；②（a－b）2+(b－c)2=0.解：①∵当a－b=0或b－c=0时，等式成立.∴a,b,c三边的大小关系是：a=b；或b=c；或a=b=c.② ∵当（a－b）2＝0且(b－c)2＝0时，等式成立. ∴∴a,b,c三边的大小关系是：a=b=c.例4.x取什么值时，下列各
6、式在实数范围内有意义？ ①； ②.解：①有意义. 这个不等式组的解集，是 －1≤x≤3.∴当－1≤x≤3时，有意义.②有意义.∴这个不等式组的解集，是：x≥0且x≠16.016即当0≤x＜16或x>16时，有意义.例5.绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：①＜5； ②＞3.解：① ＜5，就是表示x的点离开原点的距离小于5. （如图）即 x>－5且x<5.∴＜5的解集是－5＜x＜5. －5 0 5② ＞3
7、，就是表示y的点离开原点的距离大于3. （如图）－303 即y<－3或y>3.∴＞3的解集，是；y<－3 或y>3.例6.已知：方程无解.求：t的值. （1987年泉州市初二数学双基赛题）解：去分母，得x+2+t(x－2)=0.整理为关于x的一次方程，(t+1)x=2(t－1).当 时，原方程无解. 解这个方程组，得：t=－1；当x=2 或x=-2时原方程也无解.（∵这是增根）.分别以x=2， x=－2代入方程(t+1)x=2(t－1).当x=2，t无解； 当x=－2时，t=0.综上所述，当t=
8、－1 或t=0 时，方程无解.三、练习1. 填空：①当a=＿＿＿＿＿＿＿时， 没有意义.②当x＿＿＿＿＿＿＿＿时，有意义.③当x＿＿＿＿＿＿＿＿时，在实数范围内有意义.①当整数b=__________ 时，的值是整数. ②方程x+y=2 的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.③平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.2.
