有限元平面问题3

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1、FiniteElementMethod3.面力的移置设三角形单元某边界S上受面力q作用，分量为则取ds则{dR}={q}+dx由一般公式：汰}=]>]士}+<积分在边界s上以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出通常我们称：dPeY=\WT{p}^^yA’为荷载移量的一般公式:{PeY=JW几点说明：般{W=W+n[<{巾AAs2.3.4.1.虚功等效3静力等效。[；V]3唯一性更多节点的单元公式形式不变，但不同FiniteElementMethod3.面力的移置设三角形单元某边界S上受面力q作用，分量为则取ds则{dR}={q}+dx由一般公

2、式：汰}=]>]士}+<积分在边界s上以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出通常我们称：dPeY=\WT{p}^^yA’为荷载移量的一般公式:{PeY=JW几点说明：般{W=W+n[<{巾AAs2.3.4.1.虚功等效3静力等效。[；V]3唯一性更多节点的单元公式形式不变，但不同虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难•.•N为x,y的函数，若p,q再为x,y的函数则更难，且A单移分限不好定。因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。.三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）1.积坐标的定义:图示三角形单元I,j,k中任意一点m

3、，其位置可由xoy华标系中两个坐标来确定，即m（X，y）若我们连接人,，，则形成了3个小三角形Aijm,Aikm,Ajkm.则有：若m（x,y）确定=>Aijm,Aikm,Ajkm.面积确定。反之，Aijm,Aikm,ajkm•面积确定^>m（x,y）确定（用同底等高的概念解释！！）因此，三角形单元内任一点可以用直角坐标描述用三个三角形面积描述我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢?定义：节点I对边为底的三角形面积为;节点j对边为底的三角形面积为;节点k对边为底的三角形面积为;设三角形单元的面积为八(2-37)则三个比值Z.，A称为三角形单元中

4、m点的面积坐标.2.三角形面积坐标的性质:1》面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为0

5、"PI*A-A.AJ=Ak=0-2.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系，设m点的坐标为m（x，y），m为任一点则：a=L2xXJxkyyjyk=1(xyj+xjyk+xky-xyk-Xjy-x^j)=上［(Xjyk-xkyj)+(^-y,)x+(〜-')2显然：=Xjyk-xkyj9hj=yj-yk,Ci=xk-Xj...~L(at+bix+ciy)2Li=—(«r+(2-41)(cij+b^+Cjy)(ak+bkx+cky)与AC表达式比较可知：三节点三角形单元的面积哗标就是其形函数。（对于一般的情况

6、：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示）即％=N}=L.yNk=Lk（2-42）...I具有yv,的全部性质式（2-41）还可写成矩阵的形式：I./il.>二J2AaibiciaJbJCJakbkck直=＞面(2-44)面二直这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。_卜*面的结果留给大家自己证明：1'11>~乂yjL：LJLk(2-45)2.面积坐标函数的运算我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用r函数等）1•偏导设z=f（£,，L.，£,）azlax3zla).r<则Lk

7、)L;=gvx,y；、丄=丄1z7dz,dz.dzx1r,如50'aZ；+z，X+^aZr)=^^aZ；1zdzdzdz、1dz(pLLA—>pg(x,y)(1=I,j,k)(2-46)2.面积分\LalLfijUkdxdya/3y(a+々+/+2)!•2A(2-47)其中a，0，/为正整数；O!Al,A:三角形面积ex:1!0!0!(1+0+0+2)!2A(1=I，j，k)W、.=2!0!0!1xy(2+0+0+2)!2A=A~61!1!o!2A二A(1+1+0+2)!12\LiLjLkdxdy1!Ul!2A4(1+1+1+2)!6

8、03.线积分:[L7LX=〜s(s为直线长)(2-48)1s(6T+/?+l)!以上公式要会用注意＜表示的边五.三角形单元的荷载移置有了面积坐标与形函