有限元平面问题

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1、WORD格式编辑整理即：（由i,j,k轮换性知）同理可证：（作业：证明：）因此（2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。2.在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即。证明：专业知识分享WORD格式编辑整理（2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。3.ij边上的形函数与节点k的坐标无关（i，j,k轮换），即在ij边上有：（i，j,k轮换）（2-14）证明：设节点i坐标：,节点j坐标：。求：ij边的直线方程。专业知识分享WORD格式编辑整理在边上：由

2、性质2：即在i,j边上有：专业知识分享WORD格式编辑整理（2-15）证毕。同理知：（轮换）在jk边上有：在ki边上有：几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数满足收敛准则（三条）。1、单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程：寻找物体发生刚体位移的条件。若物体发生刚体位移，则有：专业知识分享WORD格式编辑整理由得：等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有：积分：式中为积分常数故位移：即：（不难证明）以上

3、两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是的情形。故：事实上，将位移函数改变形式为：显然可看出：专业知识分享WORD格式编辑整理（其它系数意义后述）1、单元位移函数解反映单元的常应变由：可以得到：显然：由此看出，但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数：]下个典的各个应变量均为常量。故称为常应变单元。2、单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。显然，设是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调（一致）的问题。由形函数的第3条性质，我们证明：对于相邻的两个单元为公共边界。专业知识分享

4、WORD格式编辑整理ij边上的N:分别写出两个单元在公共边上的位移表达式。对于单元，其位移函数为：（*）对于单元，其位移函数为：（**）Ij为单元，的公共边界。由形函数的性质3我们知道：仅与节点i有关。专业知识分享WORD格式编辑整理因此，对于：对于：与节点k,m无关，仅与i,j节点坐标及有关。--已知常数--节点位移唯一边界上x唯一确定u,v由和比较及和比较知：在公共边界上各点，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形单元的位移函数满足收敛性条件。Note:用三角形单元计算则位移是连续的。而应

5、力、应变是阶梯的。位移法（假设位移）的结果位移要好（比应力准确）。2-5三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函数；并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的收敛性。下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、三角形单元的应变矩阵[B]将位移函数写出来：专业知识分享WORD格式编辑整理其中：把位移函数u,v代入几何方程：写成矩阵的形式就是：（单元上任一点的应变）（2-16）或（2-17）

6、式中：（2-18）或分块：（2-19）式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的关系。矩阵称为应变矩阵。式（2-18）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明专业知识分享WORD格式编辑整理三节点三角形单元为常应变单元。二、三角形单元的应力矩阵由物理方程知：用矩阵表示：（2-20）或缩写为：（2-21）其中：（2-22）称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关）。把代入物理方程，得到：令（2-23）则有：（2-24）式（2-24）表示应力与节点位移的关系。由式（2-23）给出，称为三角形单元的应力矩阵。显然，弹性

7、矩阵及应变矩阵都是常量矩阵。故应力矩阵也是一个常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24），我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional专业知识分享WORD格式编辑整理泛函的函数）。（在力学上就是最小泛解的变分原理）。由于我们尚未解除变分原理且对于弹力问题，用虚功原理推导就可以了。有人证明了用虚功原理推导和用最小泛解的变分原理来推导单刚，对于

8、弹性力学的问题结果是一致的。下面我们用虚功原理来推导三节点三角形单元的单刚。1.单刚的推导（单元是平衡的：对其应用虚功原理）如图所示，三角形单元的节点位移和节点力为：节点位移：节点力：给定一组虚位移：（每个单元都可能有虚位移）（虚位移是人为假设的任意位移，其唯一的条件就是约束所允许）专业知识分享WORD格式编辑整理产生虚应变：则单元的外虚功为：（节点力）单元的内力虚功为：由虚功原理知：我们设法把等式右侧的应力和虚应变换成位移和虚位移表示：代入虚功方程右侧：及都与x,y无关。在有限元中当我们研究一