例谈数列中数学思想

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1、-例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.1、方程思想在数列中运用等差（比）数列一般涉及五个基本量：.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例1：等差数列的前n项和为Sn，且S12=84，S20=460，求S28。解：由已知得，解得.故.在解决问题中利用方程揭示问题隐

2、含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。例2、实数都不为0，且，求证：成等比数列，且为其公比。分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以为主研究简单。证明：由题设知，是一元二次方程的实数根所以所以因为所以成等比数列由求根公式得：所以为其公比。评注：对已知等式进行整体观察，发现是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。例3、已知，则的值是__________。分析：初观之，易两边同时平方---比

3、较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。.---解：由，知成等差数列设公差是，则由,解之得:又,即,所以评注：也可将同时平方得，进而得到解方程组求解。2、函数思想在数列中运用数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。例4、已知数列的通项，为其前项的和。求证：证明：构造函数则两式作差得：因为，所以即，则函数在其定义域内是减函数又因为，即，也就是评注：数列是特殊的函数，

4、构造函数后，问题转化为证明，即例5、已知数列中，，且点，在直线（1）求的通项公式；（2）求的最小值。分析:(1)由等差数列的通项是关于的一次函数,易判断是等差数列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式;(2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口.解：（1）由题设，，即.---（2）构造函数则于是，即函数是增函数故的最小值是评注:数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我

5、们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。例6、已知等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为（）A、130B、170C、210D、260分析:等差数列的前项和=,可以看成关于的二次式函数,则可以看成关于的一次式函数.一次函数图像是一条直线,那么三个点就在同一条直线上,利用斜率相等,得它的前项和为.选(C).例7、递增数列，对任意正整数，恒成立，求.分析：看成函数，它的定义域是，要使函数为递增函数，即单调增区间为,抛物线对称轴至少在的左侧，不过由于函数为离散函数，对称轴

6、在的左侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，，得例8、若等差数列和等比数列的首项均为1，且公差，公比，则集合的元素个数最多是（）个xOyA、1B、2C、3D、4解析：数列是特殊的函数，等差数列是直线上的点且直线的斜率是公差，由知，对应函数是增函数；等比数列的图象是指数函数图象上的点由图象易知选B。例9、已知是等差数列，是等比数列，其公比，，若，则（）A、B、C、D、解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B；可推广至：例10、在等差数列中，是前项的和，公差。（1）若，求；（2）若，求。解析：（1）由知是关于的一次式.---则三点

7、三点共线，故任意两点连线斜率相等xOynmm+nf(m)即，解得（2）由可知:是关于的二次式，且无常数项故可构造函数由得则是此函数的对称轴，因此，即另解：由得则大关于的一次式，所以三点共线利用任意两点连线斜率相等易求得。例11、已知等差数列的前项和是，满足，下列结论不正确的是（）A、B、C、D、解析：由可知，故；由有最大值，且与相对应的二次函数的对称轴在区间内又，所以，故选D。例12、在等差数列中，，且，则使数列前项和是取最小值的等于_______。解析：传统解法是得，再由知所以，即但若注意到等差数列中是一次函数，则由一次函数的

8、线性特征可知即所以，又得例13、已知，定义，试确定的取值范围，使得对于大于1的自然数，不等式恒成立。解：构造关于的函数若恒成立，只需.---即可而易证即是增函数所以从而解之得：评注:不等式恒成立的常见问题是，，或，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最值。例1