全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准

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1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（）A.B.C.D.【答】C.因为，，所以，故.又，而，所以，故.因此.2．方程的整数解的组数为（）A．3.B．4.C．5.D．6.【答】B.方程即，显然必须是偶数，所以可设，则

2、原方程变为，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为＝，，，，共4组.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A．B．C．D．【答】D.过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是△BEG的中位线，所以P为EG的中点.又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.因此DG＝GP＝PE＝DE＝.连接BD，易知∠BDC＝∠E

3、DC＝45°，所以∠BDE＝90°.又BD＝，所以BG＝.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）4．已知实数满足，则的最小值为（）A．.B．0.C．1.D．.【答】B..因为，所以，从而，故，因此，即.因此的最小值为0，当或时取得.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）A．0.B．.C．.D．.【答】B.由一元二次方程的根与系数的关系可得，，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入检验可知：均满足题意，不满足题意.因此，实数的所有可能的值之和为.6．由1，2，3，4这四个数字组成四

4、位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同

5、的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则_________．【答】.由得，代入得，整理得

6、①又由可得，代入①式得，即，又，所以，所以.验证可知：时；时.因此，.2．使得是完全平方数的整数的个数为．【答】1．设（其中为正整数），则，显然为奇数，设（其中是正整数），则，即.显然，此时和互质，所以或或解得.因此，满足要求的整数只有1个.3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．【答】.设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝BC.又PF＝PA∠BAE＝PA60°＝AP，PF＝CE，所以AP

7、＝BC，因此＝.4．已知实数满足，，，则＝．【答】.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）因为，所以.同理可得，.结合可得，所以.结合，，可得.因此，.实际上，满足条件的可以分别为.第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.……………………5分根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，……………………10分因为均为整数且

8、，所以只可能是解得……………………15分所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.证