奥数讲座一次不定方程.doc

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1、奥数讲座一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾

2、名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。　　本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。要点讲解：§1、二元一次方程的整数解例1求方程的整数解解若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。由上例可以得到下面的定理定理1若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解

3、二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2若整数a,b互素，则方程有整数时，同时方程也有整数解。若是方程的一个整数解，则是方程的一个整数解。★★例2求方程的整数解　　解设x,y是已知方程的整数解　　由x,y之中较小的系数4去除各项得　　把和中的整数分离出来，得　　因为5-y和x都是整数，则也是整数，设，k为整数，则，把代入已知方程得　　所以　　是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。　　当k=0，得x=4,y=1，这是方程的一组解，而解的表达式中k的系数5与4，也是已知方程中y与x的系数。　　一般地。有下面

4、的规律。　　定理3如果a，b互素，且方程有一组整数解，则此方程的所有整数解可表示为。　　　　这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。　　由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。★★★例3求方程的正整数解。　　解因3和5互素，所以原方程有整数解，首先观察出方程①的一组整数解。显然，即x=2,y=-1是方程①的一组解。于是x=56,y=-28是已知方程的一组解，故原方程的所有整数解为　　为求正整数解，可以解不等式组　　得。　　即k=-10,-11,此时原方程的正整数解为　　　　说明对于系数较大的不定方程，用观察法去求其特殊解比较困难，这时可以用分离整

5、数法或辗转相除法求其特解。★★★★例4求方程的所有正整数解。　　解用x,y中较小的系数除方程各项得　　①　　分离整数为　　②　　因为x,y是整数，故也是整数，于是有。　　再用较小的系数5除以方程各项，得　　③　　含（整数），由此得　　④　　由观察和是方程④的一组解，将代入③得y=2,y=2代入②得x=25，于是方程①有一组解x=25,y=2，所以原方程的一切整数解为　　　　　　　　　　　　　　　　　（t为整数）　　由于要求方程的正整数解，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为　　　　　　　　　　　　★★★★★例5求方程的所有整数解。　　解先利

6、用辗转相除法求方程的一组整数解。　　，①　　②　　③　　为用41和177表示①，把②代入③得　　　　④　　把①代入④得　　　　　　即，　　由此可知，是方程的一组解。　　于是　　是原方程的一组整数解，于是原方程的所有整数解为　　　　　　　　　　　　　　　　（k为整数）　　§2、一次不定方程组的整数解　　解不定方程组的基本思想仍然是消元。通过消去未知数z，将问题转化为解不定方程★★★★例6某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，求这样的自然数中最小的3个。解，设这个自然数为x,依题意得　　　　　　　　　　　　　　两式相减，消去x，得　　③　　可解得整数解　　　　　　　　(k为整数)

7、　　代回①或②均得　　由，得，解得k=1，-1，-2，…，故x最小的3个值是7，37，67。　　§3、多元一次不定方程的整数解　　对于多元一次不定方程可以把方程化为二元方程来求解。★★★★★例7求方程的整数解。　　解方程变形为，　　设（t为整数）①　　则②　　对于方程②可以观察出x=-t，y=t是其一组解，因而方程②的所有整数解为　　　　　　　　　　　　　（为整数）③　　对于方程①可以观察出是它的