2.3反函数的导数,复合函数的求导法则

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1、完美格式整理版§2.3反函数的导数,复合函数的求导法则一、反函数的导数设是直接函数,是它的反函数,假定在内单调、可导,而且,则反函数在间内也是单调、可导的,而且(1)证明:,给以增量由在上的单调性可知于是因直接函数在上单调、可导,故它是连续的,且反函数在上也是连续的,当时,必有即:【例1】试证明下列基本导数公式学习好帮手完美格式整理版证1、设为直接函数,是它的反函数函数在上单调、可导,且因此,在上,有注意到,当时,,因此,证2设,则,在上单调、可导且故证3类似地,我们可以证明下列导数公式:二、复合函数的求导法则学习好

2、帮手完美格式整理版如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且导数为证明:因,由极限与无穷小的关系,有用去除上式两边得:由在的可导性有:,即上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:若在开区间可导,在开区间可导,且时,对应的,则复合函数在内可导,且(2)复合函数求导法则是一个非常重要的法则,特给出如下注记:学习好帮手完美格式整理版弄懂了锁链规则的实质之后,不难给出复合更多层函数的求导公式。【例2】,求引入中间变量,设,,于是变量关系是,由锁链规则有:(2)、用锁链规则求导的关键引入中间变量,将复合函数分解成基本初等

3、函数。还应注意:求导完成后,应将引入的中间变量代换成原自变量。【例3】求的导数。解:设,则,,由锁链规则有:【例4】设,求。学习好帮手完美格式整理版由锁链规则有(基本初等函数求导)(消中间变量)由上例,不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中,只是起过渡作用,熟练之后,可不必引入,仅需“心中有链”。然后,对函数所有中间变量求导,直至求到自变量为止,最后诸导数相乘。请看下面的演示过程:【例5】证明幂函数的导数公式,(为实数)。证明:设学习好帮手完美格式整理版学习好帮手

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