高考数学数列的综合应用_1

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1、题目第三章数列数列的综合应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1通项与前n项和的关系：2迭加累加法：，，，………，3迭乘累乘法：，，，………，4裂项相消法：5错位相减法：,是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列所以有6通项分解法：7等差与等比的互变关系：8等比、

2、等差数列和的形式：9无穷递缩等比数列的所有项和：题型讲解例1等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？解：根据，首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn最大例2已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围解：把1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小

3、值大于右式∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)∴f(n+1)－f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2)〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕＝1/(2n+2)+1/(2n+1)－1/(n+1)＝1/(2n+1)－1/(2n+2)>0∴f(n+1)>f(n)∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,∴7/12>,解得：1q且q≠1,p≠1,设Cn=an

4、+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和，求解：,以下分两种情况讨论：(1)当p>1时,∵p>q>0,∴0q>o,∴0

5、梯形OAnBn的面积)解：Sn==(n+1)(2n+1)/(6n2);=1/3本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想例5等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0(r∈N)是关于x的一组方程①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1(r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;②设公差

6、为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─ar+2/ar,∴1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d),∴1/(mr+1+1)─1/(mr+1)=〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,∴{1/(mr+1)}是等差数列例6数列{an}的前n项和Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0,①求证{an}是等差数列；②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求

7、使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围证明：①根据得an=a+(n─1)´2b,∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b②由x=an=a+(n─1)´2b,y=Sn/n─1=a+(n─1)b两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r─1)2+r2>r2;(r─2)2+(r─1/2)2>r2;(r─3)2+(r─1)2>r2∴r的取值范围是(1,5/2─)∪(0,1)∪(4+,+∞)例7已知数列{an}满足条

8、件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列，设bn=a2n─1+a2n(n=1,2,3,…)①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N)成立的q的取值范围；②求bn和,其中Sn为数列bn的前n项的和；③设r=2