椭圆与双曲线常见题型总结附答案

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1、椭圆与双曲线常见题型归纳题型一：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂

2、直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，，，。由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足②式此时。思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。例题2、已知椭圆的左

3、焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；第56页共56页（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。解：(I

4、)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-设M(-)，则圆半径：r=

5、(-)-(-2)

6、=由

7、OM

8、=r，得，解得t=±，∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-∴AB垂直平分线NG的

9、方程为令y=0，得∵∴点G横坐标的取值范围为（）。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。第56页共56页练习1：已知椭圆过点，且离心率。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到的关系式，

10、再根据“过点”得到的第2个关系式，解方程组，就可以解出的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。（Ⅱ）设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，，即………………（1）由韦达定理

11、得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得第56页共56页，即，则。老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设、分别是椭圆的左右焦点．是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直

12、线l的方程；若不存在，请说明理由．分析：由得，点C、D关于过的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在的内部，可以设直线l的方程为：，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定