南菁高级中学—学第一学期高三数学摸底考试试卷参考答案

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1、江苏省南菁高级中学2011—2012学年第一学期高三数学摸底考试试卷答案一．填空题（每小题5分，共计80分）1．－6；2．12π；3．（0,2）；4．[－1,3]；5．；6．；7．；8．3＋2；9．12；10．(−3,−3)；11．(－1，+∞)；12．13．－；14．[−2,0)；15．；16．①②③④.二．解答题（共计80分）17．解；（1）矩阵M的特征多项式为=因为方程的一根，所以由得，………4分设对应的一个特征向量为,则得令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………8分（2）消去参数，得直线的直角坐

2、标方程为；……………10分即，两边同乘以得，得⊙的直角坐标方程为：,……………………13分圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．…………16分ξ0123P18．解（1）甲答对试题数ξ的概率分布为：…………………5分甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.………………7分（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)===，P(B)===.…………………11分因为事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=P()P()=（1－)(1－)=.…………………13分∴甲、乙两人至少有一人考试合

3、格的概率为P=1－P()=1－=.…………………15分答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.…………………16分（或P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=.）19．解：原条件可化为………3分易求的b1=1,b2=2,b3=3,b4=4,由此猜想：bn＝n，………7分下面证明：对n∈N*都成立．法一：∵∴………16分法二：………①………②又∵∴由①＋②ÞÞ………16分法三：(1＋x)n＝，两边求导可得，n(1＋x)n−1＝，令x＝1,有…16分20．解：⑴由

4、题意：设f(x)＝ax(x－4)(a＞0)，即f(x)＝a(x－2)2－4a，…………………2分∵f(x)在区间[－1,4]上的最大值为5，且对称轴为x＝2、a＞0，∴f(－1)＝5a＝5,∴a＝1,∴f(x)＝x2－4x…………………4分⑵设t＝1－cosx(0≤t≤2)，则原不等式化为f(2t)＜f(t－m)，…………………5分4t2－8t＜(t－m)2－4(t－m)，3t2＋(2m－4)t－m(m＋4)＜0，∴(t＋m)(t－)＜0……………7分①当－m＜，即m＞－1时，－m＜t＜此不等式对任意的t∈[0,2]恒成立的

5、充要条件是，解得m＞2…………………10分②当－m＝，即m＝－1时，(t－1)2＜0,不满足要求；…………………12分③当－m＞，即m＜－1时，＜t＜－m,此不等式对任意的t∈[0,2]恒成立的充要条件是，解得m＜－4…………………15分综上所述，实数的取值范围是(－∞,－4)∪(2,＋∞)…………………16分21．解：（1）显然g(x)=2x+1(0≤x≤1)满足①x∈[0,1]，f(x)≥2；②f(1)=3；若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1，则g(x1+x2)－[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2－2x1－2x2

6、－1=(2x1－1)(2x2－1)－2≥－2即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)−2成立，故为理想函数。………………4分（2）设x1,x2∈[0,1],x1

7、)取得最小值2，当x=1时，f(x)取得最大值3…………………10分（3）对x∈(0，1]，总存在n∈N，2·+2=+2,∴f(x)<2x+2综上所述，对一切x∈(0，1]，都有f(x)<2x+2………………………16分