高考专题数列与不等式放缩法_1

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1、高考专题——放缩法一、基本方法1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。例1.设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证。例2.已知a、b、c不全为零,求证:[变式训练]已知求证:2.分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边,求证:。3.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*,求

2、。例5.已知且,求证:对所有正整数n都成立。4.公式放缩利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。例6.已知函数,证明:对于且都有。例7.已知,求证:当时。5.换元放缩对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。例8.已知,求证。例9.已知a,b,c为△ABC的三条边,且有,当且时,求证:。6.单调函数放缩根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a,b∈R,求证。7.放大或缩小“因式”;例4、已知数列满足求证:8.固定一部分项,放缩另外

3、的项;例6、求证:9.利用基本不等式放缩例7、已知,证明:不等式对任何正整数都成立.10.先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明:niA<miA;(2)证明:(1+m)n>(1+n)m二、放缩法综合问题(一)、先求和后放缩例1.正数数列的前项的和,满足,试求:(1)数列的通项公式;(2)设,数列的前项的和为,求证:。(二)、先放缩再求和(或先求和再放缩)例、函数f(x)=,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+.1.放缩后成等差数列,再求和例2.已知各项均为正数的数列

4、的前项和为,且.(1)求证:;(2)求证:2.放缩后成等比数列,再求和例3.(1)设a,n∈N*,a≥2,证明:;(2)等比数列{an}中,,前n项的和为An,且A7,A9,A8成等差数列.设,数列{bn}前n项的和为Bn,证明:Bn<.3.放缩后为差比数列,再求和例4.已知数列满足:,.求证:4.放缩后为裂项相消,再求和例5、已知an=n,求证:<3.

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