数列不等式(放缩法)

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1、用放缩法证明不等式的方法与技巧一．常用公式1．2．3．(4．()5．6．二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2），，，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7）或（8）等等。三．常见题型（一）．先求和再放缩:1．设，求证：2．设（），数列的前项和为，求证：8例1求的值例2.求证:例3求证:例4求证：例5已知,,求证:.直接放缩1、放大或缩小“因式”：例1.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（I

2、I）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；8例2.已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：例3.设数列满足证明对一切正整数成立例4.已知数列满足，（）。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。8例5.数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有1．（2014•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn．（i）求Sn；（

3、ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．　2．（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an}的前n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．　3．（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．　84．（2014•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和

4、为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．　5．（2013•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．　6．（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（

5、1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．　7．（2015•重庆）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．　88．（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x

6、x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ

7、）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．　9．（2012•重庆）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．　10．（2013秋•梁子湖区校级月考）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{an}的通项an=1+．　11．（2011•广东）设b＞0，数列{an}

8、满足a1=b，an=（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1．8　12．（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）　13．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列

9、，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．　14．（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常