线代总结1线性代数中的线性方程组

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1、线代总结1线性代数中的线性方程组第四节线性方程组的解一.线性方程组的一般形式为：,mv…nV还可表示为Ax=b,^2a2L°22其中被称为系数矩阵[^]称为增广矩阵一—X=瞻b=MB■贈AJ当办=0时，称方程组Ax=67为齐次线性方程组，当办*0时，称方程组Ax=b为非齐次线性方程组。12b:卿g+4y的系数矩阵是32•■1是非齐次线性方程组。-2x2+3x3=0•1-23_•0_24-4:2+6x3=0A=2-46b=0，_A=0的系数矩阵是10-4•0」,是齐次线性方程组。第一章介绍Y利用行列式的性质来讨论线性方程组的解/卜面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论

2、线性方程组的解。定理5设线性方程组(I)的增广矩阵可由初等变换化为则与是同解的方程组注意：如果是齐次线性方程组0=0,只需对其系数矩阵进行初等变换换。定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，首先将其系数矩阵A或增广矩陈MM施以初等行变换化简成为行最简形矩陈，再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。1.齐次线性方程组的解定理6齐次线性方程组夂=G有非零解的充分必要条件是研。证明：必要性已知方程组有非零解，用反证法证明。设R(A)=n,则在A中必有一个n阶非零子式夂，从而A所对应的n个方程只冇零解，

3、这与已知矛盾。因此R(A)羊n，即R(A)

4、„101，+&-、=()解:系数矩阵121-1"!36-1-35101-5J121-1100100000将A施以初等行变换•10201-4-1101000012100-400-4120-1")0010=B0000JB为最简形矩阵，R(B)=2〈3,由定理6知，方程组有非零解+2x^-x4=QB所对应的方程组为这个方程组中有4个未知量，两个方程，故应有4-2=2个自由未知量。设=心14=02(^2为任意常致).則有=-2ct+c2-21•1—Xa10叉30Cl+0人•<)」人=0用向量表豕力此解是方程组Bx=O的通解，再由定理5知，它也是方程组Ax=O的通解2

5、.非齐次线性方程组解对于非齐次线性方程组夂•夂4如果系数矩阵A是可逆矩阵（或满秩矩阵），其解为如果系数矩阵A是非满秩矩阵，其解的情况较复杂，可能无解，可能冇唯一解,也可能有无穷多解。定理7对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R（A）=当时，方程组有唯一解当时，方程组有无限多解当吋，方程组无解证明：必要性已知方程组有解，用反证法证明。设则将化为行最简形矩阵，可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1，这与方程组有解和矛盾，因此充分性当时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。当/?（川=R时，将MA化为行最简形矩阵可知，方程组有n-r个自由未知量，可令它们分别取人，…

6、人•，为任*常数〕’则方程组解中含有n-r个任意常数，因而，有无穷多个解。当时，可得方程组无解。证毕。求解非齐次线性方程组，只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可判断其是否冇解；若冇解，再进一步将化为行最简形矩阵，写出其通解。例9求解非齐次线性方程组r2x+y-2z=103x+2y+2z=l5x+4y+3z=4解：其增广矩阵为对苏进行初等行变换B是行阶梯形矩阵，R(B)=3，即=由于r(A)=f?[^^l=3=n,可得方程组有唯一解。再将B化为行最简形矩阵，21-2011000-14r1n1i0E2oriooei"010E2j010E2=c001E-3001E-3■

7、■x=ly=2C为行最简形矩阵，其对应的方程组的解为、方程组与之同解，所以冇唯一解X=l,y=2,z=-3o例10求解非齐次线性方程组+2y-3z=62x-j+4z=24x+3>-2z=14_12-3E61[A'：b]=2-14E2解：其增广矩阵为3-2：uj,对其进行初等行变换「12-3:61「12-3612-14:2•2^"^》01-2E2=B-4作43-2三1401•••1匕一一可见R(A)=R(B)=2〈3，由定理7可得方程组冇无穷多解。再将B化为行最简形矩阵•12-3:61•12-3:61•101er1010101-2E2=cJ01-2E2J000E0

8、」000三