泰勒公式与泰勒级数的若干应用

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1、泰勒公式与泰勒级数的若干应用摘要：泰勒公式与泰勒级数是数学分析中非常重要的数学工具，它是处理高阶导问題的一个有效的武器，其应用十分广泛.本文首先介绍了泰勒公式与泰勒级数的相关内容，包括两种余项的泰勒公式及一些常见為数的幂级数展开式：然后介绍了泰勒公式与泰勒级数的应用，包括求极限、证明不等式、近似计算、求级数的和、判断或证明级数的敛散性、行列式的计算等，并通过实例说明其在每一个方面上的应用.关键词：带有佩亚诺余项的泰勒公式带有拉格朗日余项的泰勒公式泰勒级数应用TaylorformulaandSomeApplicationsofTa

2、ylorSeriesAbstract：TheTaylorformulaandtheTaylorseriesofmathematicalanalysisisveryimportantmathematicaltooltodealwiththeproblemofahigherderivativeeffectiveweapon，whichiswidelyused.ThispaperintroducestheTaylorformulawiththeTaylorseriesofrelatedcontentincludestwomoretha

3、ntheTaylorformulaandsomeofthecommonfunctionsofpowerseriesexpansion;thenintroducedtheTaylorformulawiththeTaylorseriesofapplications，includingseekingthelimittoprovethatinequality，approximatecalculation,findtheseriesandtodetermineorproveconvergenceanddivergenceofseries，

4、thecalculationofthedeterminant，andthroughexampleoneveryaspectofitsapplication.Keywords：withtheremainderoftheTaylorformulaPeanowithLagrangeremainderoftheTaylorformulaTaylorseriesapplication若函数/在点可导，则有/(%)=/(xo)4-)(x-xo)+6>(x-xo),其误差为U-&：)的高阶无穷小量，然而在很多实际问题中仅取一次多项式逼近是不够

5、的，有时需要用二次或高于二次的多项式逼近，并要求误差为于是泰勒公式与泰勒级数就体现出丫它们的优势，用收敛的泰勒级数或泰勒公式刻画函数，可以使各种不冋类型的函数都统一为同一结构的幂函数之和.泰勒公式与泰勒级数是利用高阶导数研究函数的一个重要手段，具有重要的应用价值，木文主要介绍了泰勒公式与泰勒级数在求极限、证明不等式、近似计算、求级数的和、判断级数敛散性、计算行列式等方而的应用，特别是其在行列式计算方而的应用，可以说是分析与代数的一个有很好的结合点.巧妙合理的利用泰勒公式及泰勒级数，可以解决一些较难解决的高阶导问题，泰勒公式与泰勒

6、级数的砬用远不止本文所介绍的这些，其在其他方面的座用有待于我们进一步地研究和探讨.1.泰勒公式与泰勒级数1.1泰勒公式1.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1[8]若函数，在点X。存在直到"阶导数，则有，+即,(xo)+,(xo)U_x。)+y)(x_x。)2+…+’^。)“_x。)"+O((x_jco)0当xo=O吋，，(%)=八0)+/(0>+丄_^?+…+，称为(带有佩亚AZ!诺余项的)麦克劳林公式1.1.2带有拉格朗日余项的泰勒公式定理2W(泰勒定理)若函数/在[6Z,/7]上存在直到阶的连续导数，在G/，/0内存在(

7、《+1)阶导函数,则对任意给定的x，xQe[a,b]t至少存在一点fe(«,/?),使得/(x)=/(xo)+/'(x0)(又-xo)+’’t(>)(x-x0)2+•••+’(X-x0)H当X。=0时,得到泰勒公式/W=/⑼+/'(0)x++…++’(:+(:)?+1(0<^<1)称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.1.2泰勒级数泰勒公式与泰勒级数的不同之处是泰勒公式加上相应的拉格朗口余项或佩亚诺余项，而泰勒级数不需要写出其余项.定理3[91设/在点X。具有任意阶导数，那么/在区间(xQ-r，xQ+z<)内等于它的泰勒级数的

8、和函数的充分条件是：对一切满足不等式>-人

9、<「的^，有lim^W=on一^这里是/在&的泰勒公式余项.如果/能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数/在&的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式/W=/(Xo)+一X())+,(X—义0)2+…+’卜)(