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1、第24期总第202期内蒙古科技与经济No.24,the202thissue2009年12月InnerMongoliaScienceTechnology&EconomyDec.2009对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用胡格吉乐吐(内蒙古财经学院统计与数学学院,内蒙古呼和浩特010051)摘要:文章阐述了利用泰勒公式对函数进行展开以及对泰勒公式与向量空间的关系的理解,介绍了泰勒公式在数学分析中的应用。关键词:向量空间;泰勒公式;数学分析中图分类号:O177.92文献标识码:A文章编号:1007—6921(2009)
2、24—0073—01泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内⋯}容,在课本上已对泰勒公式进行了详细的说明与论就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是述,那么,对泰勒公式的理解只限于课本上的一种理从形式来看,f(x)作为这无限维空间中的一个点(一解形式吗?有其他新的理解形式吗?文章通过向量个向量),但从数来看,f(x)在这个空间中却要用无空间对泰勒公式有了更深层次的理解,用泰勒公式限个坐标来决定.在高等数学中,根据问题的需要,可以对函数进行展开,那么,泰勒公式有没有其他的进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学
3、问题应用之处呢?还有哪些应用呢?文章将对泰勒公式中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人的应用作进一步的说明与论述,以此来加强对泰勒加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。公式的理解。谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需1函数展开与向量空间要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方比如说:函数的分解与求和,函数关系的证明等,就法,当然,函数的展开方法有多种,例如:用泰勒
4、公式要用这种有限与无限之间的变换方法。展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的例1:证明eix=cosx+isinx意义以及泰勒公式的应用,文章先对函数的展开进证明:将cosx,sinx在x=0点泰勒展开行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。∞(-1)nx2n∞(-1)nx2n+1有:cosx=,sinx=在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最n=0(2n)!n=0(2n+1)!∞(-1)nx2n∞i2nx2n∞(ix)2n常用的有如下两种类型的函数级数展开。又:cosx===1.1函
5、数的泰勒展开(幂级数展开)n=0(2n)!n=0(2n)!n=0(2n)!∞(-1)nix2n+1∞(ix)2n+1若函数f(x)在区间{xx-x06、!1.2函数的三角级数展开可见,这种有限与无限的变换方法的重要性,也若函数f(x)在区间[-,]上连续且逐段光滑,体现了泰勒公式的奥妙之处。通过认识这种函数展则在这区间内有:开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展a∞0f(x)=+(akcoskx+bksinkx)(2)开,从而更会、深刻的理解泰勒公式,使它成为解决2k=1数学问题的更加有力的工具。其中:ak=1∫12泰勒公式的应用-f(x)coskxdx,bk=∫-f(x)2.1用泰勒公式求极限sinkxdxk=0,1,2,⋯(3)1x4
7、-1+x2-从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的2!4!函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边例2求lim6x→0x却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的0函数可以用无限形式的级数来表示,关于这一点,可分析:此为〔0〕型不等式,若用洛比达法则求以从另一个视角来看,若把展开式(1)和(2)中的函解,要使用六次,但若用(2)展开,较方便。数系:246xxx{1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,⋯,(x-x0)n,解:∵cosx=1-+-cosx(0<<1)2!4!6!
8、⋯}246xxx{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,∴cosx-1+-=-cosx2!4!6!⋯}6x61分别看成无限维函数空间的两个坐标系,其中从而,原式=lim(-cosx/x)=-的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这x→06!6!运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是:个空间的一个点(或一个向量),则两级数的系数组将函数展
