不等式恒成立问题的求解策略.doc

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1、不等式恒成立问题的求解策略内容摘要：不等式恒成立问题从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面也起到了积极的作用，故备受命题专家青睐.近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（07年第10题，08年第14题，10年第19题）．关键词：不等式化归与转化数形结合恒成立一题多解正文：新课程改革开始，出现了众多注重能力考查的新颖试题，不等式恒成立问题便是其中一种题型，此类问题由于题型多样（与集合，函数，不等式，数列，三角，几何，导数，向量等结合起来），有利于从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面也起到了积极的作用，故备受命题专家青

2、睐.近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（2007年第10题，2008年第14题，2010年第19题）．不等式恒成立问题中参数取值范围的确定，学生往往找不着思路，无从下手，得分偏低。下面结合在高三复习中遇到的问题，解决这类问题的方法往往很多，但都离不开基本的数学思想方法，下面从数学思想方法角度来解决不等式恒成立问题：一、化归与转换型：化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决

3、的途径和方法.等价转化是解决不等式恒成立问题最为常见的方法。1、转换成主元法（一次函数）：处理含参不等式恒成立的某些问题，已知参数变量的范围，若能实时的把主元变量和参数变量进行换位，转化成一次函数，问题往往容易得到解决。【例1】当时关于x不等式恒成立，求实数x的取值范围。解析：在不等式中出现两字母x,p,关键是该把哪个字母看成变量，另一个看成常数，显然可将p看成变量，问题化归为内关于p的一次函数问题处理解：原不等式设是关于p的一次函数则，即x的取值范围【点评】：处理含参不等式恒成立的某些问题，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围，往往能使问题降次、简化。若在

4、[m,n]内恒有，则有，同理若在[m,n]内恒有，则有。2、转换成二次函数问题：构造二次函数，结合二次函数利用实根分布等知识求出参数的范围：⑴（判别式法）若恒成立，则有；若恒成立，则有；【例2】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对一切实数恒成立，即有解得或所以a的取值范围为【点评】：要注意二次函数的开口方向，不能忽略不计。⑵若是二次函数在指定区间上恒成立问题，还可以利用韦达定理及实根分布等知识来解决【例3】已知，若恒成立，求a的取值范围.解析：考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0

5、或或，即a的取值范围为[-7，2].【例4】若不等式对于一切x成立，求a的取值范围。解析：转化成为二次函数中的动对称轴与定区间的问题，再对其展开分类讨论解：（法一）设，则其对称轴为当，即，则在是单调减函数，应有，即当，即，则在是单调增函数，应有恒成立，即；当，即，则恒成立，故综上所述，【点评】：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑根与系数分布分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就可以.3、分离参数法：若等式或不等式中已知两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别至于等号或不等式的两边，将恒成立问

6、题转化为函数的最值，一般地将题目中参数分离出来，化归成a>f(x)（或者a（或者a<），求出参数的范围。【例4】解法2解：原不等式可化为，设，则故当时，，则在上为单调递增函数故所以。【例5】已知，若恒成立，求a的取值范围.解析：本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.解：若恒成立或或，即a的取值范围为.【点评】：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.例4的解法二要比解法一思路更清晰，操作性更强，例5也可以用零点分布策略求解.一、分类讨论型分类讨论，就是当问

7、题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。【例6】不等式对一切实数x都成立，求实数m的取值范围解析：若恒成立，则优先考虑a是否为0，然后按照.解：①当=0，即=2时，不等式化解为-4<0,这对于任意都成立②时，此时为一元二次不等式，由于解集为R，则对应的二次函数开口向下，且与x轴无交点，必有，解得综上所述，m的取值范围。【点评】：注意二次函数的二次项系数是否为0，特别看