恒成立问题的求解策略.doc

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1、恒成立问题的求解策略一．一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例1．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。二．二次函数型（1）判别式法若所求

2、问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立;2）对恒成立例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。（2）、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例4．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。例5．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。三．分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质

3、也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例6．已知当xR时，不等式a+cos2x<1-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。四．根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例7.若f(x)=sin(

4、x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。五．数形结合若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例8.当x(1,2)时，不等式(x-1)2

5、x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y=x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。